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Bonjour,

Il ne faut surtout pas dériver (avec des valeurs absolues, on évite). Le but de ce que tu as fait avant est justement d'éviter de dériver. Si je résume ce que tu as montré que "si $c<c_0$ alors $f(c_0) = f(c) + X$",

où $X = (c-c_0)(r-s) + \displaystyle 2 \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c-x_i).$

L'objectif est de montrer que, si $c_0$ est la médiane (hypothèse que tu n'as pas encore utilisée) alors $X\leq 0$. Tu auras donc montré que $f(c_0)\leq f(c)$. Le même raisonnement fonctionnera pour $c>c_0$ et tu auras ainsi prouvé que $c_0$ est le point où $f$ atteint son minimum.

Pour montrer que $X\leq 0$, tu peux facilement voir que les éléments de la sommes sont tous négatifs. Pour la quantité $(c-c_0)(r-s)$, il faut que tu comprennes ce que peuvent valoir $r$ et $s$ lorsque $c_0$ est la médiane...

Roro.

Bonsoir Jane,

Je te propose de décomposer ta somme de la façon suivante :
$$f(c_0) = \sum_{i=1}^n |x_i-c_0| = \sum_{i~;~x_i< c} |x_i-c_0| + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} |x_i-c_0| + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} |x_i-c_0|.$$
Si tu sais que $c<c_0$, selon les sommes, tu peux enlever les valeurs absolues (quitte à changer le signe) :
$$f(c_0) = \sum_{i~;~x_i< c} (c_0-x_i) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c_0-x_i) + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c_0).$$
Tu peux faire la même chose avec l'autre somme :
$$f(c) = \sum_{i=1}^n |x_i-c| = \sum_{i~;~x_i< c} (c-x_i) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (x_i-c) + \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c).$$
Tu peux remplacer $c_0-x_i$ par $(c_0-c)+(c-x_i)$ dans l'expression de $f(c_0)$ pour obtenir
$$f(c_0) = \Big( \alpha (c_0-c) + \sum_{i~;~x_i< c} (c-x_i) \Big) + \Big( \beta (c_0-c) + \sum_{i~;~c \leq x_i < c_0} (c-x_i) \Big) + \Big( \gamma (c-c_0)+ \sum_{i~;~x_i\geq c_0} (x_i-c) \Big),$$
où $\alpha$; $\beta$ et $\gamma$ correspondent aux nombre d'éléments dans chaque somme...

En regardant les expressions de $f(c_0)$ et $f(c)$, tu devrais retrouver ton résultat.

Roro.