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Lamouchaa

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Borne supérieure de plusieurs ensembles

Bonjour à tous, j'ai quelques soucis avec l'exercice suivant

Soit une suite à coefficients complexes [tex]a =(a_n)_n[/tex], on pose : [tex] A(a)=\{r\geq 0 /(|a_n|r^n)_n \,est\, majorée\} [/tex]
[tex] B(a)=\{r \geq 0 / \lim_{n \to \infty}a_nr^n=0\} [/tex]     et [tex] C(a)=\{r \geq 0 / \sum a_nr^n \,est \,convergente\} [/tex]

Question 1) Justifier que [tex]C(a) \subset B(a) \subset A(a)[/tex]. Montrer que ces inclusions peuvent être strictes.

Question 2) Montrer que l'on a [tex]supA(a) = supB(a) = supC(a)[/tex]

Pour justifier les inclusions je n'ai pas eu de soucis en me référant au cours. C'est par contre pour montrer qu'elles sont strictes que j'ai du mal.

Pour la question 2, je suppose à partir de la question 1 que l'on a : [tex]supA(a) \geq supB(a) \geq supC(a)[/tex]. Je sèche ensuite pour montrer que ce sont des égalités.

J'ai pensé que l'on pouvait supposer que par exemple [tex]supB(a) > supC(a)[/tex]  donc qu'il existe $R > 0\,  tq\,\,  \lim_{n \to \infty}a_nR^n=0$  en ayant aussi $\sum a_nR^n \,divergente$, mais je n'arrive pas à en tirer quelque chose.

Merci par avance de toute aide proposée.

Fred

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Re : Borne supérieure de plusieurs ensembles

Bonjour,

  Pour le premier exemple, je te suggère de considérer les suites $a=(1)$, $a=(n^2)$ et $a=(1/n^2)$.

Pour la deuxième question, il suffit de démontrer que $\sup A(a)\leq \sup C(a)$.

Une suggestion : si tu choisis $r$ dans $A(a)$, alors pour tout $\varepsilon >0$, $r-\varepsilon \in C(a)$ en écrivant
$$|a_n|(r-\varepsilon)^n \leq |a_n| r^n \left(\frac{r-\varepsilon}r\right)^n \leq M  \left(\frac{r-\varepsilon}r\right)^n.$$

F.

Lamouchaa

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Re : Borne supérieure de plusieurs ensembles

En utilisant la suite [tex]a =(1) [/tex] j'ai trouvé que B(a) est strictement inclus dans A(a). Je n'ai pas réussi à mettre en œuvre votre conseil pour [tex] a =(n^2) \; et \; a =(1/n^2) [/tex]. Par contre si l'on utilise la suite [tex] a = (1/n) [/tex] l'on trouve bien que [tex] 1 \in B(a)\; et \; 1 \notin A(a) [/tex] ce qui prouve que A(a) est strictement inclus dans B(a), n'est-ce pas ?

Pour la question 2, j'ai peu manipulé les bornes supérieures mais j'ai une proposition.

Soit [tex] R = sup\,C(a)[/tex],  puisque pour [tex]r \in A(a)[/tex] on a [tex]\forall \epsilon >0, \,\, r-\epsilon \,\in C(a)[/tex] on en déduit que [tex] r-\epsilon \leq R [/tex]. En passant à la limite quand [tex] \epsilon \,\to 0 [/tex] on obtient que [tex]r \leq R [/tex].

Ainsi R est un majorant de A(a) et donc [tex] sup\,A(a) \leq sup\,C(a) [/tex].

Si c'est correct merci beaucoup de votre aide.

Fred

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Re : Borne supérieure de plusieurs ensembles

En utilisant la suite [tex]a =(1) [/tex] j'ai trouvé que B(a) est strictement inclus dans A(a). Je n'ai pas réussi à mettre en œuvre votre conseil pour [tex] a =(n^2) \; et \; a =(1/n^2) [/tex]. Par contre si l'on utilise la suite [tex] a = (1/n) [/tex] l'on trouve bien que [tex] 1 \in B(a)\; et \; 1 \notin A(a) [/tex] ce qui prouve que A(a) est strictement inclus dans B(a), n'est-ce pas ?

Si à la fin tu veux parler de $C(a)$ plutôt que de $A(a)$, je suis d'accord.

Pour la question 2, j'ai peu manipulé les bornes supérieures mais j'ai une proposition.

Soit [tex] R = sup\,C(a)[/tex],  puisque pour [tex]r \in A(a)[/tex] on a [tex]\forall \epsilon >0, \,\, r-\epsilon \,\in C(a)[/tex] on en déduit que [tex] r-\epsilon \leq R [/tex]. En passant à la limite quand [tex] \epsilon \,\to 0 [/tex] on obtient que [tex]r \leq R [/tex].

Ainsi R est un majorant de A(a) et donc [tex] sup\,A(a) \leq sup\,C(a) [/tex].

Si c'est correct merci beaucoup de votre aide.

Ca me semble correct.

F.