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#1 12-02-2022 14:16:08
- Thgues
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Equicontinuité implique équicontinuité uniforme
Bonjour,
Soit [tex]T[/tex] un espace métrique compact dont la topologie est donnée par une distance [tex]d[/tex] et soit [tex]H[/tex] une partie de [tex]C(T)[/tex].
Je cherche à vérifier que [tex]H[/tex] est équicontinue sur [tex]T[/tex] si et seulement si [tex]H[/tex] est uniformément équicontinue sur [tex]T[/tex].
Pour l'implication directe, si [tex]H[/tex] est équicontinue sur [tex]T[/tex], alors : [tex]\forall s\in T, \forall \epsilon>0,\exists \delta >0,\forall f\in H,\forall t\in T,d(s,t)<\delta⇒d(f(s),f(t))<\epsilon[/tex].
Il s'agit donc de montrer qu'alors : [tex]\forall \epsilon>0,\exists \delta >0, \forall f\in H,\forall (s,t)\in T^2,d(s,t)<\delta⇒d(f(s),f(t))<\epsilon[/tex].
Auriez-vous une indication ?
Merci d'avance.
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