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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 17-01-2022 21:48:15
- aklpm²
- Invité
Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d
Bonjour,
Il y a quelques jours, on a eu un cours sur les normes et les distances sur [tex]R^d[/tex] et [tex]C^d[/tex]. On a eu un exemple avec :
On pose pour X = [tex](x_1,...,x_d)\in R^d[/tex]
[tex]||X||_1 = \sum_{i=1}^d {|x_i|}[/tex]
[tex]||X||_2 = (\sum_{i=1}^d {|x_i^2|)^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]||X||_\infty = max_{1\leq i\leq d} |x_i|[/tex]
Le professeur nous avaient expliqué que ce sont des normes, quelles sont équivalentes en nous donnant une démonstration, mais ne nous a donné aucune démonstration pour justifier que ce sont bien des normes sur [tex]R^d[/tex] en nous expliquant que c'était facile de toute façon.
J'aimerais donc savoir s'il serait possible d'obtenir quelques pistes / hypothèses pour pouvoir montrer que ce sont bien des normes sur [tex]R^d[/tex], car pour le moment je n'arrive pas à trouver d'éléments spécifiques en cherchant.
Merci en tous cas,
Cordialement.
#2 17-01-2022 21:50:22
- aklpm²
- Invité
Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d
[tex]||X||_2 = \left(\sum\limits_{i=1}^d {|x_i^2|}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]
il y avait un problème au précédent affichage
Dernière modification par yoshi (17-01-2022 22:30:18)
#3 17-01-2022 22:35:22
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 566
Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d
Bonsoir,
Pour démontrer que, par exemple $X\in\mathbb R^d \longmapsto \|X\|_2$ est une norme, tu dois démontrer que
1° Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2\geq 0$
2° Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2 = 0$ si et seulement si $X=0$
3° Pour tout $X\in\mathbb R^d$ et pour tout $\lambda\in \mathbb R$, tu as $\|\lambda X\|_2 = |\lambda| \|X\|_2$
4° Pour tous $X,Y\in\mathbb R^d$, tu as $\|X+Y\|_2\leq \|X\| + \|Y\|_2$
Quel est le(s) point(s) que tu n'arrives pas à faire ? As-tu essayé ?
Roro.
P.S. Pour cette norme particulière, il est souvent plus pratique de travailler avec son carré : $\|X\|_2^2$.
Dernière modification par Roro (17-01-2022 22:36:55)
Hors ligne
#4 18-01-2022 17:51:44
- aklpm²
- Invité
Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d
Bonsoir,
Pour démontrer que, par exemple $X\in\mathbb R^d \longmapsto \|X\|_2$ est une norme, tu dois démontrer que
1° Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2\geq 0$
2° Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2 = 0$ si et seulement si $X=0$
3° Pour tout $X\in\mathbb R^d$ et pour tout $\lambda\in \mathbb R$, tu as $\|\lambda X\|_2 = |\lambda| \|X\|_2$
4° Pour tous $X,Y\in\mathbb R^d$, tu as $\|X+Y\|_2\leq \|X\| + \|Y\|_2$Quel est le(s) point(s) que tu n'arrives pas à faire ? As-tu essayé ?
Roro.
P.S. Pour cette norme particulière, il est souvent plus pratique de travailler avec son carré : $\|X\|_2^2$.
Non c'est bon, je voulais juste comprendre le principe. Le problème est qu'on avait fait qu'un seul cours, et comme on nous a donné la feuille d'exercice en avance, j'ai voulu m'avancer un peu pour le premier td. Je vais essayer cette méthode du coup.