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aklpm²

Invité

Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d

Bonjour,

Il y a quelques jours, on a eu un cours sur les normes et les distances sur [tex]R^d[/tex] et [tex]C^d[/tex]. On a eu un exemple avec :

On pose pour X = [tex](x_1,...,x_d)\in R^d[/tex]

[tex]||X||_1 = \sum_{i=1}^d {|x_i|}[/tex]
[tex]||X||_2 = (\sum_{i=1}^d {|x_i^2|)^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]||X||_\infty = max_{1\leq i\leq d} |x_i|[/tex]

Le professeur nous avaient expliqué que ce sont des normes, quelles sont équivalentes en nous donnant une démonstration, mais ne nous a donné aucune démonstration pour justifier que ce sont bien des normes sur [tex]R^d[/tex] en nous expliquant que c'était facile de toute façon.

J'aimerais donc savoir s'il serait possible d'obtenir quelques pistes / hypothèses pour pouvoir montrer que ce sont bien des normes sur [tex]R^d[/tex], car pour le moment je n'arrive pas à trouver d'éléments spécifiques en cherchant.

Merci en tous cas,

Cordialement.

aklpm²

Invité

Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d

[tex]||X||_2 = \left(\sum\limits_{i=1}^d {|x_i^2|}\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]

il y avait un problème au précédent affichage

Dernière modification par yoshi (17-01-2022 22:30:18)

Roro

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Messages : 1 563

Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d

Bonsoir,

Pour démontrer que, par exemple $X\in\mathbb R^d \longmapsto \|X\|_2$ est une norme, tu dois démontrer que
1°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2\geq 0$
2°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2 = 0$ si et seulement si $X=0$
3°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$ et pour tout $\lambda\in \mathbb R$, tu as $\|\lambda X\|_2 = |\lambda| \|X\|_2$
4°  Pour tous $X,Y\in\mathbb R^d$, tu as $\|X+Y\|_2\leq \|X\| + \|Y\|_2$

Quel est le(s) point(s) que tu n'arrives pas à faire ? As-tu essayé ?

Roro.

P.S. Pour cette norme particulière, il est souvent plus pratique de travailler avec son carré : $\|X\|_2^2$.

Dernière modification par Roro (17-01-2022 22:36:55)

aklpm²

Invité

Re : Montrer que ||X||_1, ||X||_2 et ||X||_{infty} sont des normes sur R^d

Bonsoir,

Pour démontrer que, par exemple $X\in\mathbb R^d \longmapsto \|X\|_2$ est une norme, tu dois démontrer que
1°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2\geq 0$
2°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$, tu as $\|X\|_2 = 0$ si et seulement si $X=0$
3°  Pour tout $X\in\mathbb R^d$ et pour tout $\lambda\in \mathbb R$, tu as $\|\lambda X\|_2 = |\lambda| \|X\|_2$
4°  Pour tous $X,Y\in\mathbb R^d$, tu as $\|X+Y\|_2\leq \|X\| + \|Y\|_2$

Quel est le(s) point(s) que tu n'arrives pas à faire ? As-tu essayé ?

Roro.

P.S. Pour cette norme particulière, il est souvent plus pratique de travailler avec son carré : $\|X\|_2^2$.

Non c'est bon, je voulais juste comprendre le principe. Le problème est qu'on avait fait qu'un seul cours, et comme on nous a donné la feuille d'exercice en avance, j'ai voulu m'avancer un peu pour le premier td. Je vais essayer cette méthode du coup.