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#1 05-12-2021 11:40:03

jpp
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Concours de 17

salut ;

Concour de 17 . Ce jeu existait dans les années 50 à Saint-charles-la-forêt en Mayenne ; jeu proche de la manille .

Sans calculette et quelques lignes d'explication :

[tex]\cfrac{ \sum_{i=1}^{n=89°}{\sin^6{i°}}}{17.\cos\frac{\pi}{17}.\cos\frac{2\pi}{17}.\cos\frac{3\pi}{17}.\cos\frac{4\pi}{17}.\cos\frac{5\pi}{17}.\cos\frac{6\pi}{17}.\cos\frac{7\pi}{17}.\cos\frac{8\pi}{17}}= n[/tex]         

Que vaut n ?  mais surtout comment le trouver avec crayon et papier ?

Le numérateur somme les [tex]\sin^6{1°} , \sin^6{2°} ...... \sin^6{88°} , \sin^6{89°}  [/tex]  en mode "degré" .
Le dénominateur , lui , est en mode "radian" . Pas grave puisque la calculatrice scientifique n'existait pas dans les années 50 .


                                                                Bon courage .

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#2 05-12-2021 21:42:46

Zebulor
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Re : Concours de 17

Bonsoir,
ça semble intéressant .. et est ce que quelqu'un avant trouvé la bonne réponse sans calculatrice dans les années 50 ?


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#3 06-12-2021 09:00:28

jpp
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Re : Concours de 17

Salut ;

@Zebulor : dans les années 50 j'apprenais à lire , écrire et compter .  C'est un truc que j'ai conçu en m'inspirant de formules "trigo"

Je donne

un indice

Le numérateur va éliminer direct les sinus ; le dénominateur va manger un à un les cosinus

Si ça peut aider ; ce n'est pas le Cerro Torre non plus . (90° quand même la colline )

bonne recherche .

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#4 06-12-2021 14:57:51

Zebulor
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Re : Concours de 17

re,
@jpp : j'ai trouvé pour le dénominateur, $\dfrac {17}{2^8}$,probablement par un autre chemin que le tien..tu l'as appelé concours de 17 mais c'aurait pu être "concours d'un nombre impair"..
numérateur : linéariser peut être..de façon a obtenir une somme telescopique?
Au passage j'ai trouvé - et je ne prétends pas avoir inventé la Lune - que $\prod_{i=1}^n cos(\dfrac {\pi}{2n+1})=\dfrac {1}{2^n}$.. et pas l'impression que ça puisse se démontrer par récurrence

Dernière modification par Zebulor (07-12-2021 11:17:01)


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#5 06-12-2021 18:51:58

jpp
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Re : Concours de 17

re ;

on a dû prendre le même chemin .  Il te reste le numérateur .

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#6 07-12-2021 11:47:26

Zebulor
Membre expert
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Re : Concours de 17

rebonjour jpp,
finalement pour le numérateur j'ai $\sum\limits_{p=1}^{44} (cos^6(p))+sin^6(p))+sin^6(45)$... et de nouveau je linéarise..pour obtenir une somme de cosinus à un facteur près plus un autre nombre..formule de Moivre du style  $(a+b)^6 ou (a-b)^6$ .. je vous passe les détails c'est du calcul bête et méchant.

Dernière modification par Zebulor (07-12-2021 22:23:32)


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#7 07-12-2021 15:27:58

Zebulor
Membre expert
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Re : Concours de 17

Re, j'ai pris le radian comme unité d'angle ... pas forcément une bonne idée..

j'obtiens pour le numérateur : $\dfrac {1}{8}+\dfrac {1}{8}\sum\limits_{p=1}^{44} (3cos(\dfrac {p\pi}{45})+5)$ .. Or $cos(\dfrac {p\pi}{45})=-cos(\pi- \dfrac {p\pi}{45})=-cos(\dfrac {(45-p)\pi}{45})$. On somme sur des angles allant de 0 ou presque à $\pi$ ou presque, alors on peut se douter que ça s'annule.

Quitte à le vérifier :
$\sum\limits_{p=1}^{44}cos(\dfrac {p\pi}{45})=\sum\limits_{p=1}^{22} cos(\dfrac {p\pi}{45})+\sum\limits_{p=23}^{44} cos(\dfrac {p\pi}{45})$
et avec un changement de variable dans la deuxième somme style $p'=45-p$ dans la seconde somme du membre de droite :
$\sum\limits_{p=1}^{44}cos(\dfrac {p\pi}{45})=\sum\limits_{p=1}^{22} cos(\dfrac {p\pi}{45})-\sum\limits_{p'=1}^{22} cos(\dfrac {p'\pi}{45})=0$

Après calcul le numérateur vaut $\dfrac {221}{8}$

Dernière modification par Zebulor (07-12-2021 22:32:43)


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#8 08-12-2021 02:00:06

TeamT
Invité

Re : Concours de 17

Moi, pour le numérateur, j'obtient une forme close:
[tex]\sum_{k=1}^{n} \sin^6(k)=\frac{5n}{16}-\frac{15}{64}\csc(1)\sin(2n+1)+\frac{3}{32}\csc(2)\sin(4n+2)-\frac1{64}\csc(3)\sin(6n+3)+\frac{5}{32}[/tex]
J'ai obtenu ça en linéarisant le sinus puis en passant au complexe avec une somme géométrique. Après, il suffit de remplacer [tex]n[/tex] par [tex]89[/tex] et avec quelques astuces de symétrie du sinus, les [tex]\csc(k)\sin(k(2n+1))[/tex] se simplifient en [tex]1[/tex] ou [tex]-1[/tex].

Enfin, moi je trouve pour le numérateur: [tex]\frac{445}{16}[/tex] et non [tex]\frac{442}{16}[/tex] comme Zebulator.

#9 08-12-2021 10:39:15

jpp
Membre
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Messages : 1 105

Re : Concours de 17

Salut ;

Bravo zébulor  et merci pour vos efforts ;

Le numérateur à pour valeur 221/8  ; le dénominateur : 17/256 ;

Et le rapport : [tex] \cfrac{\frac{221}{2^3}}{\frac{17}{2^8}} = 13\times2^5 = 416  [/tex]

Ce que j'ai fait :


A)  le numérateur : utilisons la formule d'Euler  : 

[tex]  \sin^6{x}  =  \left[\cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right]^6 = \cfrac{-1}{32}.\left[\cos{6x} - 6.\cos{4x} + 15.\cos{2x} - 10\right][/tex] 

Dans la somme recherchée on retrouve facilement le terme médian : [tex] \sin^6{45°} = \cfrac{1}{8} [/tex] 

Il reste maintenant à sommer 88 lignes sinus : ( 88 fois  5/16  &  3 x 88 termes cosinus ) .

88 x 5/16 + 1/8 =  221 / 8   . Il reste à sommer les 3 x 88 cosinus .

Si on regroupe ces cosinus par couple :

1)   on regroupe les paires comme ceci :  [tex]  \cos{6x} + \cos[6.(90-x)]  =  \cos{2x} + \cos[2.(90°-x)] = 0 [/tex]

pour cos 6x et cos 2x  on prend les angles complémentaires ; ce sont les paires (89 ; 1) ; (88 ; 2) ...... (47 ; 43) ; (46 ; 44)

2)    pour les cos 4x  , on prend les angles différents de 45° . Ce sont les paires : ( 46 , 1) ; (47 , 2) ; (48 , 3) .....  (88 , 43) & (89 ; 44)

On s'aperçoit que la somme des 264 cosinus est nulle .  Le numérateur a pour valeur : 221/8  ; et la division par 17 donne : 13/8

B)  Le dénominateur ; 

On va faire apparaître à tour de rôle le sinus d'un angle double :  [tex] \sin{2x} = 2.\sin{x}\times{\cos{x}}  [/tex]

Je multiplie le dénominateur par [tex] \sin\frac{\pi}{17}.\sin\frac{3\pi}{17}[/tex] ; je diviserai à la fin par la même valeur .

Je forme deux groupes : 

[tex] \sin\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{2\pi}{17}\times\cos\frac{4\pi}{17}\times\cos\frac{8\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{16\pi}{17}  = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{\pi}{17} [/tex]

Il reste à diviser par [tex] \sin\frac{\pi}{17}[/tex]  pour obtenir  1/16  .

On procède de la même façon avec le groupe : 

[tex] \sin\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{6\pi}{17}\times\cos\frac{5\pi}{17}\times\cos\frac{7\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{14\pi}{17}  = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{3\pi}{17} [/tex]

On effectue la division par  [tex] \sin\frac{3\pi}{17} [/tex]  pour obtenir  1/16  .

Et le rapport final :   (13/8)  / (1/256)  = 32 x 13 = 416  .

Merci encore pour vos recherches .

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#10 08-12-2021 10:49:37

Zebulor
Membre expert
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Messages : 2 075

Re : Concours de 17

hello,
@jpp :merci de même... les outils dont on dispose maintenant m'ont aidé quand même, alors que dans les années 50.. je ne connaissais pas le "csc" de TeamT


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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