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Zebulor · 08-12-2021 10:49:37

hello,
@jpp :merci de même... les outils dont on dispose maintenant m'ont aidé quand même, alors que dans les années 50.. je ne connaissais pas le "csc" de TeamT

jpp · 08-12-2021 10:39:15

Salut ;

Bravo zébulor et merci pour vos efforts ;

Le numérateur à pour valeur 221/8 ; le dénominateur : 17/256 ;

Et le rapport : [tex] \cfrac{\frac{221}{2^3}}{\frac{17}{2^8}} = 13\times2^5 = 416 [/tex]

Ce que j'ai fait :

A) le numérateur : utilisons la formule d'Euler :

[tex] \sin^6{x} = \left[\cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right]^6 = \cfrac{-1}{32}.\left[\cos{6x} - 6.\cos{4x} + 15.\cos{2x} - 10\right][/tex]

Dans la somme recherchée on retrouve facilement le terme médian : [tex] \sin^6{45°} = \cfrac{1}{8} [/tex]

Il reste maintenant à sommer 88 lignes sinus : ( 88 fois 5/16 & 3 x 88 termes cosinus ) .

88 x 5/16 + 1/8 = 221 / 8 . Il reste à sommer les 3 x 88 cosinus .

Si on regroupe ces cosinus par couple :

1) on regroupe les paires comme ceci : [tex] \cos{6x} + \cos[6.(90-x)] = \cos{2x} + \cos[2.(90°-x)] = 0 [/tex]

pour cos 6x et cos 2x on prend les angles complémentaires ; ce sont les paires (89 ; 1) ; (88 ; 2) ...... (47 ; 43) ; (46 ; 44)

2) pour les cos 4x , on prend les angles différents de 45° . Ce sont les paires : ( 46 , 1) ; (47 , 2) ; (48 , 3) ..... (88 , 43) & (89 ; 44)

On s'aperçoit que la somme des 264 cosinus est nulle . Le numérateur a pour valeur : 221/8 ; et la division par 17 donne : 13/8

B) Le dénominateur ;

On va faire apparaître à tour de rôle le sinus d'un angle double : [tex] \sin{2x} = 2.\sin{x}\times{\cos{x}} [/tex]

Je multiplie le dénominateur par [tex] \sin\frac{\pi}{17}.\sin\frac{3\pi}{17}[/tex] ; je diviserai à la fin par la même valeur .

Je forme deux groupes :

[tex] \sin\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{\pi}{17}\times\cos\frac{2\pi}{17}\times\cos\frac{4\pi}{17}\times\cos\frac{8\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{16\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{\pi}{17} [/tex]

Il reste à diviser par [tex] \sin\frac{\pi}{17}[/tex] pour obtenir 1/16 .

On procède de la même façon avec le groupe :

[tex] \sin\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{3\pi}{17}\times\cos\frac{6\pi}{17}\times\cos\frac{5\pi}{17}\times\cos\frac{7\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{14\pi}{17} = \cfrac{1}{16}\times\sin\frac{3\pi}{17} [/tex]

On effectue la division par [tex] \sin\frac{3\pi}{17} [/tex] pour obtenir 1/16 .

Et le rapport final : (13/8) / (1/256) = 32 x 13 = 416 .

Merci encore pour vos recherches .

TeamT · 08-12-2021 02:00:06

Moi, pour le numérateur, j'obtient une forme close:
[tex]\sum_{k=1}^{n} \sin^6(k)=\frac{5n}{16}-\frac{15}{64}\csc(1)\sin(2n+1)+\frac{3}{32}\csc(2)\sin(4n+2)-\frac1{64}\csc(3)\sin(6n+3)+\frac{5}{32}[/tex]
J'ai obtenu ça en linéarisant le sinus puis en passant au complexe avec une somme géométrique. Après, il suffit de remplacer [tex]n[/tex] par [tex]89[/tex] et avec quelques astuces de symétrie du sinus, les [tex]\csc(k)\sin(k(2n+1))[/tex] se simplifient en [tex]1[/tex] ou [tex]-1[/tex].

Enfin, moi je trouve pour le numérateur: [tex]\frac{445}{16}[/tex] et non [tex]\frac{442}{16}[/tex] comme Zebulator.

Zebulor · 07-12-2021 15:27:58

Re, j'ai pris le radian comme unité d'angle ... pas forcément une bonne idée..

j'obtiens pour le numérateur : $\dfrac {1}{8}+\dfrac {1}{8}\sum\limits_{p=1}^{44} (3cos(\dfrac {p\pi}{45})+5)$ .. Or $cos(\dfrac {p\pi}{45})=-cos(\pi- \dfrac {p\pi}{45})=-cos(\dfrac {(45-p)\pi}{45})$. On somme sur des angles allant de 0 ou presque à $\pi$ ou presque, alors on peut se douter que ça s'annule.

Quitte à le vérifier :
$\sum\limits_{p=1}^{44}cos(\dfrac {p\pi}{45})=\sum\limits_{p=1}^{22} cos(\dfrac {p\pi}{45})+\sum\limits_{p=23}^{44} cos(\dfrac {p\pi}{45})$
et avec un changement de variable dans la deuxième somme style $p'=45-p$ dans la seconde somme du membre de droite :
$\sum\limits_{p=1}^{44}cos(\dfrac {p\pi}{45})=\sum\limits_{p=1}^{22} cos(\dfrac {p\pi}{45})-\sum\limits_{p'=1}^{22} cos(\dfrac {p'\pi}{45})=0$

Après calcul le numérateur vaut $\dfrac {221}{8}$

Zebulor · 07-12-2021 11:47:26

rebonjour jpp,
finalement pour le numérateur j'ai $\sum\limits_{p=1}^{44} (cos^6(p))+sin^6(p))+sin^6(45)$... et de nouveau je linéarise..pour obtenir une somme de cosinus à un facteur près plus un autre nombre..formule de Moivre du style $(a+b)^6 ou (a-b)^6$ .. je vous passe les détails c'est du calcul bête et méchant.

jpp · 06-12-2021 18:51:58

re ;

on a dû prendre le même chemin . Il te reste le numérateur .

Zebulor · 06-12-2021 14:57:51

re,
@jpp : j'ai trouvé pour le dénominateur, $\dfrac {17}{2^8}$,probablement par un autre chemin que le tien..tu l'as appelé concours de 17 mais c'aurait pu être "concours d'un nombre impair"..
numérateur : linéariser peut être..de façon a obtenir une somme telescopique?
Au passage j'ai trouvé - et je ne prétends pas avoir inventé la Lune - que $\prod_{i=1}^n cos(\dfrac {\pi}{2n+1})=\dfrac {1}{2^n}$.. et pas l'impression que ça puisse se démontrer par récurrence

jpp · 06-12-2021 09:00:28

Salut ;

@Zebulor : dans les années 50 j'apprenais à lire , écrire et compter . C'est un truc que j'ai conçu en m'inspirant de formules "trigo"

Je donne

▼un indice

Si ça peut aider ; ce n'est pas le Cerro Torre non plus . (90° quand même la colline )

bonne recherche .

Zebulor · 05-12-2021 21:42:46

Bonsoir,
ça semble intéressant .. et est ce que quelqu'un avant trouvé la bonne réponse sans calculatrice dans les années 50 ?

jpp · 05-12-2021 11:40:03

salut ;

Concour de 17 . Ce jeu existait dans les années 50 à Saint-charles-la-forêt en Mayenne ; jeu proche de la manille .

Sans calculette et quelques lignes d'explication :

[tex]\cfrac{ \sum_{i=1}^{n=89°}{\sin^6{i°}}}{17.\cos\frac{\pi}{17}.\cos\frac{2\pi}{17}.\cos\frac{3\pi}{17}.\cos\frac{4\pi}{17}.\cos\frac{5\pi}{17}.\cos\frac{6\pi}{17}.\cos\frac{7\pi}{17}.\cos\frac{8\pi}{17}}= n[/tex]

Que vaut n ? mais surtout comment le trouver avec crayon et papier ?

Le numérateur somme les [tex]\sin^6{1°} , \sin^6{2°} ...... \sin^6{88°} , \sin^6{89°} [/tex] en mode "degré" .
Le dénominateur , lui , est en mode "radian" . Pas grave puisque la calculatrice scientifique n'existait pas dans les années 50 .

Bon courage .

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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