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maths48

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Exercice matrice diagonalisable

Bonjour,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/KLdnf2xmliA

J'ai fait les questions 1 et 2.
J'ai trouvé 2 valeurs propres 0 et n et la dim(Ker(A)) = n-1

Pour faire la question 3 : montrer que A est diagonalisable, on peut montrer que n = somme de i = 1 à 2 des dim(Eλi).
Or dim(E0) = dim(Ker(A)) = n-1 donc il faudrait dim(Eλ) = 1 mais ce n'est pas ce que j'ai trouvé avec mon calcul...
Le voici : https://www.cjoint.com/c/KLdniCCoKYA (il faut beaucoup zoomer je n'ai pas pu faire mieux désolé)

Où est mon erreur ?

Merci d'avance,
Bonne journée

Dernière modification par maths48 (03-12-2021 14:10:57)

Fred

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Bonjour,

  D'une part, tu peux directement démontrer que $\dim(E(n))=1$ : puisque $n$ est valeur propre, tu sais que $\dim(E(0))\geq 1$
et puisque $\dim(E(0))+\dim(E(n))\leq n$, tu as automatiquement l'autre inégalité.

Concernant ton erreur, tu n'as pas résolu le système! C'est comme si tu avais écrit

$$\left\{\begin{array}{rcl}
x+y&=&0\\
x-y&=&0\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&-y\\
y&=&x
\end{array}\right.$$

puis que tu avais dit qu'il y a plein de solutions! (alors qu'ici, seul $(0,0)$ est solution...).
Il faut que tu revoies comment résoudre un système!

F.

maths48

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Merci beaucoup !

Pour la 4 : le polynôme caractéristique est le suivant : (-1)ⁿ (X-n)X^n-1 car f est diagonalisable ssi son polynôme est scindé et dim(Eλ) = αλ, αλ étant la multiplicité et λ la valeur propre. Or on a prouvé à la question précédente que A est diagonalisable et dim(E0) = n-1 donc la multiplicité de 0 est n-1. Même raisonnement pour la valeur propre n.

Le polynôme minimal est le suivant : X²-nX il est du second degré car il y a deux valeurs propres et les racines du polynôme minimal de A sont ses valeurs propres.

Qu'en pensez-vous ?

Fred

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Ok

maths48

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Pour la 5 : Il existe un polynôme Q(X) tel qu'on ait : (X²-nX)Q(X) mais je dois avouer que je ne vois pas le reste là...

maths48

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Je reviens sur mon message précédent  : Comme le polynôme minimal est du second degré, il existe un polynôme Q(X) tel qu'on ait : (X²-nX)Q(X) + bX + c
et donc il faut trouver les coefficients b et c mais comment puis-je faire ?

Fred

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Que devient l'égalité pour $X=0$ et $X=n$???

maths48

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Pour X = 0 :  c = 0
Pour X = n : a = n^k-1

On a alors (X²-nX)Q(X) + n^k-1X
donc le reste de la division euclidienne c'est n^k-1X, c'est ça ?

et du coup pour la 6 on a A_n^k = n^k-1A, c'est correct ?

Fred

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Re : Exercice matrice diagonalisable

Re-

  Et si tu vérifiais par toi-même par exemple en prenant $n=3$??? Ce n'est pas si compliqué de calculer A^2, A^3 par exemple.

F.