Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 22-10-2021 23:28:04
- Bill
- Membre
- Inscription : 20-01-2020
- Messages : 55
Mesures
Bonjour à tous,
Je m’adresse à vous pour la compréhension d’un exercice type sur la théorie de mesure.
L’exercice consiste en 8 étapes.
Le sujet est en pièce jointe
Je vous remercie pour vos interventions.
voici quelques éléments de solution que j’ai pu faire selon ma compréhension du sujet :
a) Il existe p et q dans $\mathbb{N}^*$ tels que $1\leq p<q$ et $x \in f^{-p}(B)\cap f^{-q} (B)$.
Donc $x \in f^{-p}(B)$ et $x \in f^{-q}(B)$. Et donc $f^{p}(B) \in B$ et $f^{q}(B) \in B$.
Posons $y = f^p(x) \in B.$
On a $f^{q-p}(y)=f^{q-p}(f^p(x))$
$f^{q-p}(y)=f^q(x)$ car $1\leq p<q$.
Donc il existe bien $y = f^p(x) \in B$ tel que $f^{q-p}(y)=f^q(y) \in B$.
b) Il existe k et l dans $\mathbb{N}^*$, avec $1 \leq k <l$ tels que $x \in f^{mk}(Bn) \cap f^{-ml}(Bn)$.
Donc $x \in f^{-nk}(Bn)$ et $x \in f^{-ml}(Bn)$.
Et donc $f^{nk}(x) \in Bn$ et $f^{ml}(x) \in Bn$.
Posons $y = f^{nk}(x) \in Bn$.
On a $f^{n(l-k}(y) = f^{n(l-k)}(f^{nk}(x))$.
$f^{n(l-k)}(y) = f^{nl}(x)$ car $1 \leq nk \leq nl$.
Donc il existe bien $y=f^{nk}(x) \in Bn$ tel que $f^{n(l-k}(y) = f^{nl}(x) \in Bn$.
c) Suppons que $x \in f^{-nk}(Bn) \cap f^{-nl}(Bn)$.
f) Par additivité de l'union (disjoint), la mesure $\mu(Bn)=0$
Dernière modification par Bill (23-10-2021 11:57:53)
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#4 23-10-2021 11:45:58
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : Mesures
Re,
Peux-tu placer l'énoncé sur le site "ci-joint" ?
Nan ! cjoint...
Ici :
https://www.cjoint.com
Après validation du dépôt, tu obtiens un code que tu copies pour le coller ensuite dans un prochain message.
@+
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#6 03-11-2021 05:02:54
- Junior ste
- Membre
- Inscription : 03-11-2021
- Messages : 93
Re : Mesures
Bonjour à tous.
Comment montret que si f et g sont 2 fontions mesurables alors f+g est une fonctions mesurables??
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#7 03-11-2021 08:15:15
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Mesures
Bonjour,
Première remarque : tu aurais dû ouvrir une nouvelle discussion, car ta question n'est pas la même que celle de Bill.
La règle est simple : une question = une discussion.
Concernant ton problème, pour tout $a\in\mathbb R$, il suffit de démontrer que $\{x: f(x)+g(x)<a\}$ est mesurable.
Pour cela, si on note $F_b=\{x: f(x)<b\}$ et $G_c=\{x: g(x)<c\}$, alors on a
$$\{x: f(x)+g(x)<a\}=\bigcap_{b+c<a, b,c\in\mathbb Q} (F_b\cap G_c)$$
ce qui devrait te permettre de conclure.
F.
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#8 05-11-2021 20:14:16
- Junior ste
- Membre
- Inscription : 03-11-2021
- Messages : 93
Re : Mesures
Salut.
Je ne comprends pas la dernière qui vient avant la conclusion ???.
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#10 11-11-2021 04:51:04
- Junior ste
- Membre
- Inscription : 03-11-2021
- Messages : 93
Re : Mesures
Merci
j'ai pu appréhender cela.
J'ai un autre souci :
Premièrement étant donné une fonction continue de R dans R comment montrer que le graphe de celle-ci est de mesure nulle dans R^2(muni de la mesure de Lebesgue)???
Et pour terminer comment ouvrir une nouvelle discussion dans ce forum puisque j'ai lu les règles du forum mais je ne perçois pas ce qu'ils ont dit...
Dernière modification par Junior ste (11-11-2021 05:40:24)
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#11 11-11-2021 11:01:27
- Paco del Rey
- Invité
Re : Mesures
Bonjour Junior.
Une idée :
Tu commences par démontrer que le graphe d'une fonction continue sur un segment est de mesure inférieure à tout \( \varepsilon > 0 \).
L'avantage d'un segment c'est qu'on y a une continuité uniforme.
Paco.
#12 11-11-2021 19:23:11
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : Mesures
Bonsoir,
Et pour terminer comment ouvrir une nouvelle discussion dans ce forum puisque j'ai lu les règles du forum mais je ne perçois pas ce qu'ils ont dit...
Rhooooo.... Es-tu sûr d'avoir cherché consciencieusement ?
C'est pourtant simple quand on ne téléporte pas directement dans une pièce mais qu'on passe par la porte d'entrée...
Extrait de la page d'accueil du sous forum Entraide (Supérieur) dont l'url est :
Accueil Entraide Supérieur) :
Tu vois mieux maintenant ?
Clique sur le lien pour mieux te rendre compte...
Et constate que tout en bas de page tu retrouves la mention Nouvelle discussion...
Cette page d'accueil m'apprend que l'ensemble des discussions est réparti sur 183 pages : si tu les faisais défiler une par une, tu constaterais que chacune des 183 pages de discussions comporte deux fois la mention "Nouvelle discussion : une fois en haut à droite, et une fois en bas à droite, soit un total de 366 fois la mention Nouvelle discussion.
Tu peux aussi vérifier que cette mention est aussi présente 2 fois sur chaque page de discussions de chaque sous-forum. Ainsi le sous
-forum Entraide (Collège-Lycée) comporte 123 pages de discussions et donc un total de 246 fois la mention Nouvelle discussion...
Je te fais grâce du décompte pour les autres sous-forums... ;-)
@+
Yoshi
- Modérateur -
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#13 12-11-2021 08:05:46
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Mesures
Bonjour,
Tu ne devrais pas avoir de soucis en suivant la suggestion de Paco.
Ensuite, comme l'ensemble des réels est une réunion dénombrable de segments et que la mesure d'une réunion dénombrable de boréliens est majorée par la somme de leurs mesures, et positive, cela te permet de conclure.
Alain
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#14 06-01-2022 11:43:18
- Junior ste
- Membre
- Inscription : 03-11-2021
- Messages : 93
Re : Mesures
[img=photo]IMG_20220106_114030.jpg][/img]
[EDIT]@Yoshi Modérateur
Aucune adresse pour ton message : ce post ne sert à rien.
Si tu avais vérifié en cliquant sur Prévisualisation, tu te s'en serais aperçu...
Dernière modification par yoshi (06-01-2022 16:27:41)
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