Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Tu ne devrais pas avoir de soucis en suivant la suggestion de Paco.
Ensuite, comme l'ensemble des réels est une réunion dénombrable de segments et que la mesure d'une réunion dénombrable de boréliens est majorée par la somme de leurs mesures, et positive, cela te permet de conclure.

Alain

Bonjour Junior.

Une idée :
Tu commences par démontrer que le graphe d'une fonction continue sur un segment est de mesure inférieure à tout \( \varepsilon > 0 \).
L'avantage d'un segment c'est qu'on y a une continuité uniforme.

Paco.

Essaie de procéder par double inclusion.

Bonjour,

  Première remarque : tu aurais dû ouvrir une nouvelle discussion, car ta question n'est pas la même que celle de Bill.
La règle est simple : une question = une discussion.

Concernant ton problème, pour tout $a\in\mathbb R$, il suffit de démontrer que $\{x: f(x)+g(x)<a\}$ est mesurable.
Pour cela, si on note $F_b=\{x: f(x)<b\}$ et $G_c=\{x: g(x)<c\}$, alors on a
$$\{x: f(x)+g(x)<a\}=\bigcap_{b+c<a, b,c\in\mathbb Q} (F_b\cap G_c)$$
ce qui devrait te permettre de conclure.

F.

Bonjour Yoshi,

Merc pour la précision.
c'est fait du coup. Mon sujet est dispo.

Bine cordialement,

Bill

bonjour Alain,

je viens de refaire la manipulation pour joindre le fichier, je pense que ça devrait marcher à présent.

Merci.

Bill

Bonjour à tous,
Je m’adresse à vous pour la compréhension d’un exercice type sur la théorie de mesure.
L’exercice consiste en 8 étapes. 
Le sujet est en pièce jointe

Enoncé

Je vous remercie pour vos interventions.
voici quelques éléments de solution que j’ai pu faire selon ma compréhension du sujet :

a) Il existe p et q dans $\mathbb{N}^*$ tels que $1\leq p<q$ et $x \in f^{-p}(B)\cap f^{-q} (B)$.
Donc $x \in f^{-p}(B)$ et $x \in f^{-q}(B)$. Et donc $f^{p}(B) \in B$ et $f^{q}(B) \in B$.
Posons $y = f^p(x) \in B.$
On a $f^{q-p}(y)=f^{q-p}(f^p(x))$
$f^{q-p}(y)=f^q(x)$ car $1\leq p<q$.
Donc il existe bien  $y = f^p(x) \in B$ tel que $f^{q-p}(y)=f^q(y) \in B$.

b) Il existe k et l dans $\mathbb{N}^*$, avec $1 \leq k <l$ tels que $x \in f^{mk}(Bn) \cap f^{-ml}(Bn)$.
Donc $x \in f^{-nk}(Bn)$ et $x \in f^{-ml}(Bn)$.
Et donc $f^{nk}(x) \in Bn$ et $f^{ml}(x) \in Bn$.
Posons $y = f^{nk}(x) \in Bn$.
On a $f^{n(l-k}(y) = f^{n(l-k)}(f^{nk}(x))$.
$f^{n(l-k)}(y) = f^{nl}(x)$ car $1 \leq nk \leq nl$.
Donc il existe  bien $y=f^{nk}(x) \in Bn$ tel que $f^{n(l-k}(y) = f^{nl}(x) \in Bn$.

c) Suppons que $x \in f^{-nk}(Bn) \cap f^{-nl}(Bn)$.

f) Par additivité de l'union (disjoint), la mesure $\mu(Bn)=0$