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digou

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Exercice limite sup et inf d'une suite

Bonjour
Je travail actuellement sur un problème concernant les limites supérieur et inférieur d'une suite.
Dans ce problème, on définie une suite Un bornée et deux suite Vp = sup {Un , n>p} et Wn = inf {Un , n>p}
Je bloque sur une question d'application : On a Un = $\frac{n+2}{n+1}$ * cos($\frac{n\pi}{3}$), déterminer la limite de Vn et Wn.
Intuitivement, j'ai trouvé que ces deux limites valaient 1 et -1 mais impossible d'écrire cela de manière rigoureuse.
J'ai bien essayé des suites extraites mais je me perds entre les indices p et n.
Merci d'avance pour vos réponses
Bonne journée

Paco del Rey

Invité

Re : Exercice limite sup et inf d'une suite

Bonjour Digou.

Il est clair qu'on peut extraire une sous-suite qui converge vers 1.

De plus \(\forall n \in \mathbb N, \, u_n \leqslant \dfrac{n+2}{n+1}\).
Donc \[\limsup\limits_{n\to\infty} u_n \leqslant \limsup\limits_{n\to\infty} \dfrac{n+2}{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n+2}{n+1} = 1.\]

etc.

Paco.