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#1 12-08-2021 13:19:42
- Dom2611
- Invité
Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Bonjour,
Dans l'équation suivante :
3x8 - 9x5 -5x2 = 0
x2 . (3x6 - 9x3 -5) = 0
x3 = t
3t2 - 9t -5 = 0
Comment arrive-t-on au résultat :
t = 3.48 (=x3) => x = 1.52
t = -0.48 (=x3) => x = -0.78
S = -0.78 ;0 ;1.52
Merci d'avance pour votre aide.
#2 12-08-2021 14:00:29
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 988
Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Bonjour,
En toute bonne logique; puisque $t=x^3$, alors $x=\sqrt[3]t$ : racine cubique de t ou $t^{\frac 1 3}$...
Si je prend 3 chiffres après la virgule (plus raisonnable que 2 quand on cherche une racine cubique), au lieu de t = 3.48, je prends t = 3,479
et $\sqrt[3]{3.479}\approx 1.515$... d'où les 1.52 affichés.
J'aurais pris :
3.479057015 et $\sqrt[3]{3.479057015}=\approx 1.515$, là oui cela a du sens d'arriver à 1.52 (cf $0.001^3 =0.000000001$)
Pour arrondir à $10^{-2}$ La précision doit être $10^{-3}$
@+
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#3 12-08-2021 16:11:53
- DOM1126
- Invité
Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Merci pour ce détail!
Mais finalement, comment faire pour trouver la valeur de "t" si je n'ai que l'équation 3t2 - 9t -5 = 0 ?
C'est cette partie-là que je ne comprends pas vraiment.
#4 12-08-2021 17:12:31
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 988
Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Re,
Je ne sais pas quel est ton niveau, mais résolution d'une équation du 2nd degré :
$ax^2+bx+c=0$
Discriminant :
Si $\Delta<0$ pas de solution
Si $\Delta=0$ une solution double $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$
Si $\Delta >0$ 2 solutions $x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Soit avec :
$3t^2 - 9t -5 = 0$
Discriminant :
$\Delta=(-9)^2-4\times 3 \times(-5)=81+60=141=(\sqrt{141})^2$
Solutions
$t_1=\dfrac{9+\sqrt{141}}{6}\approx 3.4790570145063193$, je garde $t_1=3.479057015$ (arrondi à $10^{-9}$) près
D'où
$x1=1.515$ arrondi à 1.52
$t2=\dfrac{9-\sqrt{141}}{6}\approx -0.4790570145063$, je garde $t_1=-0.479057015$ (arrondi à $10^{-9}$) près
D'où
$x_2=-0.782$ arrondi à -0.78
@+
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#5 12-08-2021 18:56:26
- DOM1126
- Invité
Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Cela fait plus de 15 ans que je n’avais pas fait de math… désolée.
Je pensais qu’il y avait un moyen plus rapide de faire, sans passer par le discriminant.
Merci encore!
#6 12-08-2021 20:53:15
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 988
Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)
Re,
Pô grave... mais fô prévenir...
Bon, oui, autre méthode : factoriser via la forme canonique, mais c'est plus ch...
$3t^2-9t-5=3\left(t^2-3t-\dfrac 5 3\right)=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac 9 4-\dfrac 5 3\right]=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac{47}{12}\right]=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac{141}{36}\right] $
Et :
$\dfrac{141}{36}=\left(\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)^2$ Coucou, tu le vois le discriminant qui est apparu ?
$3t^2-9t-5=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)^2\right] $
Factorisation d'une différence de deux carrés :
$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
$3t^2-9t-5=3\left(t-\dfrac 3 2-\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)\left(t-\dfrac 3 2+\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)=3\left(t-\dfrac{9-\sqrt{141}}{6}\right)\left(t-\dfrac{9+\sqrt{141}}{6}\right)$
Et on retrouve les deux racines...
Pour la mise sous forme canonique de $ax^2+bx+c$, voir https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=7541 et notamment le post#3...
@+
Dernière modification par yoshi (12-08-2021 21:17:47)
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