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Dom2611

Invité

Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Bonjour,

Dans l'équation suivante :

3x8 - 9x5 -5x2 = 0
x2 . (3x6 - 9x3 -5) = 0

x3 = t

3t2 - 9t -5 = 0

Comment arrive-t-on au résultat :
t = 3.48 (=x3) => x = 1.52
t = -0.48 (=x3) => x = -0.78

S = -0.78 ;0 ;1.52

Merci d'avance pour votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Bonjour,

En toute bonne logique; puisque $t=x^3$, alors $x=\sqrt[3]t$ : racine cubique de t ou $t^{\frac 1 3}$...
Si je prend 3 chiffres après la virgule (plus raisonnable que 2 quand on cherche une racine cubique), au lieu de t = 3.48, je prends t = 3,479
et $\sqrt[3]{3.479}\approx 1.515$... d'où les 1.52 affichés.
J'aurais pris :
3.479057015  et  $\sqrt[3]{3.479057015}=\approx 1.515$, là oui cela a  du sens d'arriver à 1.52 (cf $0.001^3 =0.000000001$)
Pour arrondir à $10^{-2}$ La précision doit être $10^{-3}$

@+

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DOM1126

Invité

Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Merci pour ce détail!

Mais finalement, comment faire pour trouver la valeur de "t" si je n'ai que l'équation 3t2 - 9t -5 = 0 ?

C'est cette partie-là que je ne comprends pas vraiment.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Re,

Je ne sais pas quel est ton niveau, mais résolution d'une équation du 2nd degré :
$ax^2+bx+c=0$
Discriminant :

Si $\Delta<0$ pas de solution
Si $\Delta=0$ une solution double $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$
Si $\Delta >0$ 2 solutions  $x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Soit avec :
$3t^2 - 9t -5 = 0$
Discriminant :
$\Delta=(-9)^2-4\times 3 \times(-5)=81+60=141=(\sqrt{141})^2$
Solutions
$t_1=\dfrac{9+\sqrt{141}}{6}\approx 3.4790570145063193$, je garde $t_1=3.479057015$ (arrondi à $10^{-9}$) près
D'où
$x1=1.515$ arrondi à 1.52

$t2=\dfrac{9-\sqrt{141}}{6}\approx -0.4790570145063$, je garde $t_1=-0.479057015$ (arrondi à $10^{-9}$) près
D'où
$x_2=-0.782$ arrondi à -0.78

@+

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DOM1126

Invité

Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Cela fait plus de 15 ans que je n’avais pas fait de math… désolée.

Je pensais qu’il y avait un moyen plus rapide de faire, sans passer par le discriminant.

Merci encore!

yoshi

Modo Ferox

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Re : Résolution d'une équation plus délicate (bicarrée, produit, etc.)

Re,

Pô grave... mais fô prévenir...

Bon, oui, autre méthode : factoriser via la forme canonique, mais c'est plus ch...
$3t^2-9t-5=3\left(t^2-3t-\dfrac 5 3\right)=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac 9 4-\dfrac 5 3\right]=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac{47}{12}\right]=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\dfrac{141}{36}\right] $

Et :
$\dfrac{141}{36}=\left(\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)^2$ Coucou, tu le vois le discriminant qui est apparu ?

$3t^2-9t-5=3\left[\left(t-\dfrac 3 2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)^2\right] $
Factorisation d'une différence de deux carrés :
$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$
$3t^2-9t-5=3\left(t-\dfrac 3 2-\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)\left(t-\dfrac 3 2+\dfrac{\sqrt{141}}{6}\right)=3\left(t-\dfrac{9-\sqrt{141}}{6}\right)\left(t-\dfrac{9+\sqrt{141}}{6}\right)$

Et on retrouve les deux racines...

Pour la mise sous forme canonique de $ax^2+bx+c$, voir https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=7541 et notamment le post#3...

@+

Dernière modification par yoshi (12-08-2021 21:17:47)

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