Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci Paco.

Oui, j'ai bien conscience de l'objectif d'un concours.
En composition, on n'a pas le temps de prendre du recul sur le sujet.
Ce qui me rassure, c'est que la plupart du temps, lorsque je bloque, c'est dû à une erreur de calcul, et non pas à une faiblesse dans la compréhension.
Si cela t'intéresse, il s'agit du sujet CCP INP 2020.

Merci encore !

Bonjour,

Encore une question... J'espère que l'on est pas limité par le nombre de questions, car je risque d'en avoir pas mal dans les prochains mois ^^

Soit [tex]x\in ]0;+\infty[[/tex].

On pose [tex]F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-tx}dt[/tex], [tex]G(x)=\int_0^{+\infty} e^{-tx}sin(t)dt[/tex] et [tex]H(x)=\int_0^{+\infty} cos(t)e^{-tx}dt[/tex].

J'ai démontré que les fonctions étaient bien définies sur [tex]]0;+\infty[[/tex], et que [tex]\lim_{x\to +\infty} F(x)=0[/tex].

Par ailleurs, [tex]G(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex] et [tex]H(x)=\frac{x}{x^2+1}[/tex], et [tex]F'(x)=-G(x)[/tex].

Ainsi, avec les propriétés précédentes, on en déduit que [tex]F(x)=-arctan(x)+K[/tex] avec [tex]K[/tex] un réel.
Or, par passage à la limite, on obtient que [tex]K=\frac{\pi}{2}[/tex].
Finalement, [tex]F(x)=-arctan(x)+\frac{\pi}{2}[/tex], et [tex]F(1)=\frac{pi}{4}[/tex].

Questions

1) Pourquoi demande-t-on de calculer [tex]F(1)=\int_0^{+\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-t}dt[/tex] ?

2) On demande également de calculer [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt[/tex]. Pourquoi ? Est-ce que cela permet de calculer [tex]F(x)[/tex] ?
Pour info, j'ai trouvé que [tex]\int_0^{+\infty} e^{-tx}cos(\alpha t)dt=H(\frac{x}{\alpha})[/tex] ...

Merci !