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mati

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Majorations

Bonjour,
On considère le problème
\begin{equation}\label{1}
\dfrac{\partial u}{\partial t} - \Delta u - a(x,t) u = f(x,t),
\end{equation}
\begin{equation}\label{2}
u(x,0)=0,
\end{equation}
avec des conditions au bord périodique.

En multipliant la première équation par $u$ et en intégrant le produit en $x \in (0,1)^n$ et $t \in (0,T]$, on trouve pour tout $t \in (0,T]$:
\begin{equation}\label{3}
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} u^2(t,x) dx + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} \nabla u \cdot \nabla u dx
= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} \psi(x) dx +
\end{equation}
$$
+ \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt
$$

\bigskip

En supposant que $a \in L_{q,r}(Q_T)$ et $f \in L_{q_1,r_1}(Q_T)$ où $Q_T = (0,1)^n \times (0,T]$, avec
$$
q \in (1,+\infty], \ r \in [1,+\infty), \ q_1 \in (1,2], \ r_1 \in [1,2),
$$
tels que
$$
\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{q}=1, \ \dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{q_1}= \dfrac{3}{2}
$$
où $L_{q,r}(Q_T)$ est l'espace muni de la norme
$$
||v||_{q,r,Q_T}= \left(\displaystyle\int_0^T \left(\displaystyle\int_{(0,1)^n)} |v(x,t)|^q dx\right)^{r/q} dt\right)^{1/r}
$$

est-ce qu'il est possible de majorer $|\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt$ par $||a||_{q,r,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$? Et majorer $\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt$ par $||f||_{q_1,r_1,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$?

Merci d'avance

Dernière modification par mati (01-06-2021 19:47:01)

Roro

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Re : Majorations

Bonsoir mati,

A part utiliser les inégalités de Hölder, je ne sais pas si tu trouveras ton compte mais je ne connais pas d'autres méthodes.

En regardant de plus près, je pense que tu n'as aucune chance d'y arriver pour le terme $au²$. Si tu ne veux pas utiliser plus que la norme $L²$ pour $u$, il faudra obligatoirement que $a$ soit essentiellement bornée...

Je ne sais pas ce que tu veux faire exactement, mais pourquoi n'autorises-tu pas le contrôle de $au²$ avec $\nabla u$ dans $L²$ ?

Roro.