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Bonjour,
On considère le problème
\begin{equation}\label{1}
\dfrac{\partial u}{\partial t} - \Delta u - a(x,t) u = f(x,t),
\end{equation}
\begin{equation}\label{2}
u(x,0)=0,
\end{equation}
avec des conditions au bord périodique.

En multipliant la première équation par $u$ et en intégrant le produit en $x \in (0,1)^n$ et $t \in (0,T]$, on trouve pour tout $t \in (0,T]$:
\begin{equation}\label{3}
\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} u^2(t,x) dx + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} \nabla u \cdot \nabla u dx
= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{(0,1)^n} \psi(x) dx +
\end{equation}
$$
+ \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt + \displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt
$$

\bigskip

En supposant que $a \in L_{q,r}(Q_T)$ et $f \in L_{q_1,r_1}(Q_T)$ où $Q_T = (0,1)^n \times (0,T]$, avec
$$
q \in (1,+\infty], \ r \in [1,+\infty), \ q_1 \in (1,2], \ r_1 \in [1,2),
$$
tels que
$$
\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{q}=1, \ \dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{q_1}= \dfrac{3}{2}
$$
où $L_{q,r}(Q_T)$ est l'espace muni de la norme
$$
||v||_{q,r,Q_T}= \left(\displaystyle\int_0^T \left(\displaystyle\int_{(0,1)^n)} |v(x,t)|^q dx\right)^{r/q} dt\right)^{1/r}
$$

est-ce qu'il est possible de majorer $|\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} a(x,t) u^2(x,t) dx dt$ par $||a||_{q,r,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$? Et majorer $\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_{(0,1)^n} f(x,t) u(x,t) dx dt$ par $||f||_{q_1,r_1,Q_T}$ et $||u||_{L^2(Q_T)}$?

Merci d'avance