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njbnj

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Polynômes

bonsoir
[tex](X^2+cX+d)[/tex] est un polynôme de discriminant complexe. Dans un des exercices du site, on écrit

[/tex]X^2+cX+d=(X-\mu)\overline{(X-\mu)}.[/tex]  mu étant les racines complexes conjuguées. On applique ensuite la racine carrée au polynôme  et on trouve l'égalité suivante: (X-\mu)

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi la racine carrée du polynôme donne juste une de ces racines?
Pour info, il s'agit de l'exercice 33 des polynômes de sup

merci d'avance et bonne soirée

njbnj

Invité

Re : Polynômes

une partie ne passe pas avec Latex, il s'agit juste de l'expression d'un polynôme de second degré qui est égal à sa factorisation avec ses deux racines complexes conjuguées

yoshi

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Re : Polynômes

Bonjour,

Une partie ne passe pas avec Latex (...)

Ah bon ?
Pourtant :
[tex]X^2+cX+d=(X-\mu)\overline{(X-\mu)}[/tex]
Alors ?

Si ce n'est pas cela que tu veux, écris ta formule sans les balises tex, je regarderai ça de plus près.

@+

Chlore au quinoa

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Re : Polynômes

Salut je me permets de m'incruster !

Pour le LaTeX, il y a un slash dans ta première balise, pour ça que ça ne passe pas. À noter que tu peux aussi encadrer avec des dollars "$" ça va plus vite.

Pour répondre à ta question, un polynôme de $\mathbb{R}_2[X]$ possédant une racine complexe $\mu$ possède également comme racine le complexe $\bar\mu$ ! Tu saurais le démontrer ?

En aucun cas on ne prend la ''racine" d'un polynôme, cette opération n'a même pas de sens en réalité dans l'anneau des polynômes formels.

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (12-03-2021 09:22:53)

bridgslam

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Re : Polynômes

Bonjour Adam,

il y a néanmoins une notion de racine carrée approchée  Q d'un polynôme P, s'il existe une polynôme Q tel que [tex] P - Q^2[/tex] soit de degré minimum.

Cordialement,
Alain

Chlore au quinoa

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Re : Polynômes

Bonjour Alain

Tu me fascines à toujours trouver le petit exemple qui marche tout le temps, quelle culture ! Le seul problème c'est qu'il n'y a pas d'unicité de $Q$... Je prends l'exemple $P=X^3$. Tu peux chercher longtemps, impossible de trouver $Q\in\mathbb{K}[X]$ tel que $\text{deg}(P-Q^2)<3$.
Donc pour $Q$, tout polynôme de degré 1 ou 0 (ou $-\infty$) convient.

Bonne journée à toi !

bridgslam

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Re : Polynômes

Salut Adam,

je n'ai parlé ni d'existence, ni d'unicité :-).

Cette question était évoquée dans un exo du site exo7 ( de mémoire présentée en vidéo par  Arnaud Bodin ), et que j'avais plus ou moins regardé quand je me suis remis aux maths.

Cordialement,
Alain