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Vernon45

Invité

Calcul de limite

Bonjour,

J'ai encore besoin de votre aide sur 3 questions en Analyse, quelle méthode utiliser pour calculer la limite lorsque n tend vers +infini de ces suites ?

1. La somme pour k allant de 1 à n de (k/n^2)*cos( (k*pi)/n )

2. La somme pour k allant de 1 à 2n de ( 1/(k+n) )*ln( 1+ (k/n) )

3. Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n))^((e^(k/n))/n)

Zebulor

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Re : Calcul de limite

Bonjour,
des sommes de Riemann là dedans :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … emann.html

et le dernier encadré en particulier

- la 1 je l'écrirais comme suit :  $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ .. et au passage à la limite sachant l'intégrale correspondante est un nombre fini, la limite de $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ quand n tends vers l'infini est $0$ sauf erreur

-Pour la 2 tu peux déjà factoriser le dénominateur de la fraction $\frac {1}{k+n}$ par $n$ de sorte à y faire apparaître $\frac {k}{n}$, puis écrire la somme $\sum_{k=1}^{2n}$ en somme de 2 sommes:
- l'une $\sum_{k=1}^{n}$  qui te donne une somme de Riemann classique dont la limite quand $n$ tend vers$\infty$ est une intégrale.
- l'autre $\sum_{k=n}^{2n}$ que tu ramènes à une somme de $\sum_{k'=1}^{n}$ en posant $k'=k-n$ d'où une deuxième somme de Riemann comme précédemment.
Ensuite c'est du calcul intégral : le résultat est une somme de deux intégrales d'une même fonction

-Pour la 3, il n'y aurait pas une erreur ? parce que j'ai l'impression ce produit tend vers l'infini.. Ecris en Latex c'est plus lisible.

EDIT : je me trompe pour la 1 : la limite n'est pas 0

Dernière modification par Zebulor (06-12-2020 18:20:01)

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Pour la 2, j'ai ca mais il y a quelque chose de faux, je ne vois pas où :

La somme de départ revient donc à (1/n)*la somme de k allant de 1 à n de (ln(1+(k/n)) / ((k/n)+1)      +      (1/n)*la somme pour k allant de n+1 à 2n de ( ln(1+(k/n)) / ((k/n)+1 ). Sur la première somme on peut appliquer la somme de Riemann avec f(x)=(ln(1+x)) / (x+1) non ?

Zebulor

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Re : Calcul de limite

C'est çà.. et pourquoi parles tu de quelque chose de faux ?

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Je ne sais pas écrire en Latex désolé... Je peux toujours t'envoyer une photo depuis un autre endroit. Sinon là je ne vois pas comment calculer la somme :

(1/n)*la somme pour k' allant de 1 à n de ( ln(1+(k'+n)/n) ) / ( ((k'+n)/n) +1 )

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Je pensais que c'était faux parce que je comparais deux résultats qui n'avaient rien à voir mais je m'en suis rendu compte seulement après

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Attends je penses avoir trouvé

Zebulor

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Re : Calcul de limite

(1/n)*la somme pour k' allant de 1 à n de ( ln(1+(k'+n)/n) ) / ( ((k'+n)/n) +1 )

J'ai fait un peu différemment mais au final ça revient au même : tu peux encore simplifier ce que tu as dans le ln et au dénominateur..

Zebulor

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Re : Calcul de limite

La fonction change mais les bornes d'intégration sont les mêmes pour ce que tu as fait au post #5

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Pour la 2eme, j'ai que (1/n)*la somme pour k allant de n+1 à 2n de ( ln(1+(k/n) ) / ( (k/n)+1 ) est égal à la somme de (1/n)*la somme pour k' allant de 1 à n de ( ln(1+(k'+n)/n) ) / ( ((k'+n)/n)+1 ) c'est bien ca ?

Zebulor

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Re : Calcul de limite

oui et tu peux simplifier encore ceci : ( ln(1+(k'+n)/n) ) / ( ((k'+n)/n)+1 )

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Oui j'ai factorisé par n et j'ai ( ln ( (k'/n)+2 ) ) / ( (k'/n)+2 )

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Mais la somme des deux intégrales ne donnent pas le résultat de la somme de départ, c'est pour ca que j'avais dit qu'il y avait un problème quelque part

Zebulor

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Re : Calcul de limite

et quel est le résultat de la somme de départ ?

Vernon45

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Re : Calcul de limite

0.6367...

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Pour n=5

Zebulor

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Re : Calcul de limite

oui c'est fort possible : car le résultat exact est $\frac{ln^2(3)}{2}$ soit environ 0.6034

Vernon45

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Re : Calcul de limite

Mais dans ce cas, pourquoi le résultat pour n=5 est supérieur à 0.6034 ?

Vernon45

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Re : Calcul de limite

C'est pas une somme composée que de termes positifs ?

Zebulor

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Re : Calcul de limite

c est cette fonction là intégrée entre 0 et 2 : $\frac{{ln(1+x})}{1+x}$

ou bien la somme de l'intégrale entre 0 et 1 de $\frac{{ln(1+x})}{1+x}$ et de l'intégrale entre 0 et 1 de $\frac{{ln(2+x})}{2+x}$

Zebulor

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Re : Calcul de limite

C'est pas une somme composée que de termes positifs ?

non : regarde ce qui se passe pour le nième terme...

PS : oups désolé je confonds avec l'autre somme. Bien sur il n y a que des termes positifs ..

Dernière modification par Zebulor (05-12-2020 17:57:57)

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Pour la première c'est bien -2/(pi^2)

Zebulor

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Re : Calcul de limite

re,

Pour la première c'est bien -2/(pi^2)

tu parles de :
$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} cos(\frac{k\pi}{n})$ ?

Arthuroua

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Re : Calcul de limite

Oui

Arthuroua

Invité

Re : Calcul de limite

Je verrais avec mon prof, mais pour la 3 je sais pas commencer et c'est en fait :

Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n))^( (e^(2k/n))/n )