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EA01

Invité

Normes et continuité

Bonjour, je bloque complètement a un des exercices de mon DM.

Exercice :
On muni R[X] de la norme :
    ||somme de k0 à n (a_k X^k)||=sup_k=0,...,n (|a_k|)

Etude de l’application φ_c : (R[X], ||•||) −→ (R, | • |)
qui envoie un polynome P ∈ R[X] sur sa valeur P(c) en c ∈ R.

Vérifier que c’est une application linéaire implique que cette application est continue ssi elle est continue en zero.
Pour avoir continuité en 0 il faut que :
lim (quand n tend vers l'infini) ||P_n|| = 0 entraine lim (quand n tend vers l'infini) |P_n(c)|=0

1) Si |c| > 1, cela ne marche pas (nous l'avons prouvé en cours)
2) Si |c| = 1,  trouver une suite de polynômes P_n sujet à : lim (quand n tend vers l'infini) ||P_n|| = 0 mais dont la suite de valeurs Pn(c) ne tends pas vers 0.

Je bloque complètement pour cette question, je ne vois pas comment la valeur absolue du sup des coefficient du polynomes peut tendre vers 0 quand n tend vers l'infini alors que Pn(c) sachant que |c|=1 ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini

Merci d'avance
EA

Roro

Membre expert

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Re : Normes et continuité

Bonsoir,

Je pense que tu n'appliques pas la définition de continuité correctement.
Pour une application linéaire $f :E \to F$, montrer qu'elle est continue est équivalente à montrer qu'elle l'est en zéro (ce que tu dis), qui est aussi équivalent à
$$\exists K \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad \|f(x)\|_F \leq K \|x\|_E.$$

Dans ton cas, il faut donc montrer que, pour tout $c\in \mathbb R$,
$$\exists K \in \mathbb R \quad \forall P \in \mathbb R[X] \quad |P(c)| \leq K \|P\|,$$

ce qui ne devrait pas être trop difficile (pense à l'inégalité triangulaire, et pense aussi que $K$ peut dépendre de $c$).

Roro.

Dernière modification par Roro (06-11-2020 20:47:49)