Probabilité

Oliam · 25-02-2019 12:46:27

Bonjour,
Je suis en train de faire des exercices d'entrainement; je suis tombé sur cette question au début d'un exercice et je pense m'être trompé car tous mes résultats suivants sembles faux :
On note A une variable aléatoire réelle qui suit un loi exponentielle de paramètre a. Il faut donné une densité de -A.

J'ai trouvé ae^(ax) pour x>0 et 0 sinon

Je vous remercie par avance si vous prenez le temps de m'expliquer.

Michel Coste · 25-02-2019 12:57:05

Bonjour,

Ta variable aléatoire $A$ a une densité nulle sur $\left] -\infty, 0\right[$. Donc $-A$ a une densité nulle sur $\left]0,+\infty\right[$.

Oliam · 25-02-2019 12:59:00

D'accord, merci, mais quelle est sa densité sur ]−∞,0[ du coup?

Michel Coste · 25-02-2019 13:59:50

Je te laisse y réfléchir.

Rappel : pour $a <b$, $\mathbb P(a \leq A \leq b) = \int_a^b f(t)\,dt$ ; par ailleurs $a \leq A \leq b$ est le même événement que $-b \leq -A \leq -a$.

Oliam · 25-02-2019 14:21:38

Du coup, ce n'est pas : ae^(ax)?

Michel Coste · 25-02-2019 15:24:55

Pour tout réel $x$ ?

Oliam · 25-02-2019 15:28:52

Pour x appartenant ]−∞,0[

Michel Coste · 25-02-2019 16:10:38

Et pour les autres réels ?

freddy · 25-02-2019 16:35:07

Oliam a écrit :

Du coup, ce n'est pas : ae^(ax)?

Attention, $x$ est négatif !!!

Oliam · 25-02-2019 16:35:44

0 pour x appartenant à ]0,+∞[
et ae^(ax) pour x appartenant à ]−∞,0[

edit : freddy, Ah du coup c'est faux

Dernière modification par Oliam (25-02-2019 16:36:20)

Michel Coste · 25-02-2019 16:46:09

Oui, quand $x$ est négatif, il est négatif. Et alors, freddy ?
@oliam : et pour $x=0$ ?

Oliam · 25-02-2019 16:52:25

0 je pense pour x=0

Michel Coste · 25-02-2019 17:32:45

Pourquoi pas 1 ? En fait, ça n'a pas d'importance, mais autant être raccord avec ce qu'on fait d'habitude pour la loi exponentielle.

freddy · 25-02-2019 17:49:37

Michel Coste a écrit :

Oui, quand $x$ est négatif, il est négatif. Et alors, freddy ?
@oliam : et pour $x=0$ ?

Salut,

l'expression de la densité doit intégrer le signe de x pour qu'elle donne le même résultat par symétrie axiale de $x$. Si tu n'adaptes pas le signe, tu dis des bêtises.

Donc on doit avoir quelque chose du genre $f(x)=ae^{ax}$ si $ x < 0$ et 0 sinon

Faire aussi attention que la densité correcte pour A s'écrit $f(x)=ae^{-ax}$ si $x >0$ et 0 sinon.

freddy · 25-02-2019 17:56:51

Oliam a écrit :

0 je pense pour x=0

Exact !

Michel Coste · 25-02-2019 18:04:46

@freddy : tu n'avais pas lu les messages précédant ton intervention ? Il y était bien dit que la densité de $-A$ est égale à $a\exp(ax)$ pour $x<0$.
Ensuite, pour la valeur de la densité en 0, ça n'a aucune importance ! Mais vu que, traditionnellement, la densité pour la loi exponentielle vaut 1 en 0, il est logique de préférer que la densité de $-A$ soit 1.

freddy · 25-02-2019 18:21:58

Oui, comme d'hab, j'ai lu un peu trop vite et pensais qu'il donnait la densité pour A ... D'où ma remarque à son endroit !

Ensuite, pour moi, puisque la densité est donnée par $f(x)=ae^{-ax}$ si $x \gt 0$ et $0$ sinon, j'en déduis que $f(0)=0$.

Vérification faite, la bonne définition de la loi exponentielle est : X variable aléatoire réelle positive et non strictement positive comme notre ami le laisse entendre.

Du coup, oui, on a bien sûr $f(0)=a$ car la densité est bien donnée par $f(x)=ae^{-ax}$ si $x \ge 0$ et $0$ sinon.

Merci pour tes précisions :-)

Dernière modification par freddy (25-02-2019 18:31:27)

Michel Coste · 25-02-2019 18:33:06

Je répète que ça n'a au fond aucune importance : la densité n'est pas unique, on peut changer ses valeurs sur un ensemble dénombrable.

Oliam · 25-02-2019 19:42:11

Désolé de vous déranger encore, je n'ai pas tous compris dans votre discution, mais du coup une loi de densité peut etre :

0 pour x appartenant à ]0,+∞[
et
ae^(ax) pour x appartenant à ]−∞,0[

Michel Coste · 25-02-2019 20:46:00

La densité d'une variable aléatoire peut être ça (et n'importe quoi en 0).

Oliam · 25-02-2019 20:46:52

D'accord, merci beaucoup d'avoir pris de votre temps afin de m'aider.

Oliam · 26-02-2019 09:35:24

Re-bonjour, je me posais une autre question, comment pourrais-je trouver une densité de - A + B, A étant une variable aléatoire réelle qui suit un loi exponentielle de paramètre a et B une variable aléatoire réelle qui suit un loi exponentielle de paramètre b. Les deux sont indépendantes.

Merci

freddy · 26-02-2019 10:30:55

Salut,

as tu entendu parler du produit de convolution ?

Le plus simple pour toi est de commencer à déterminer la proba de l'évènement $(-A + B \le x)$ par exemple, avec $x$ réel quelconque, -A suivant une loi exponentielle de paramètre $a$ et B, de paramètre $b$.

Avec ça, tu vas construire la fonction de répartition de la somme et en déduire la loi exacte, et donc sa densité.

Oliam · 26-02-2019 11:00:59

La formule du produit de convolution est donnée, mais je ne l'ai jamais utilisée, donc je ne sais pas comment faire

Oliam · 26-02-2019 12:24:14

J'ai trouvé une un autre forum, une discussion sur le même exercice et ils trouvent cela à la fin, je ne comprends pas comment ils ont fais:

https://blogs.futura-sciences.com/cgi-b … Cbr%20/%3E

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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