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Ssecar

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Déterminant

Bonjour,

Je me permets de vous demander de l'aide concernant le calcul d'un déterminant, auquel je bloque vraiment, voici l'énoncé:

Je ne sais pas quel est le bon moyen pour calculer ce déterminant, je pense qu'il faut tenter une factorisation mais laquelle? J'ai essayé de me débarrasser du -d dans la derniere colonne en ajoutant à celle-ci d* la 3eme, mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne première étape...
Merci pour toute aide

Dernière modification par Ssecar (01-09-2017 10:14:21)

PTRK

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Re : Déterminant

L'énoncé: Soit $a,b,c,d,\lambda \in \mathbb R$, calculer $
\left |\begin{matrix}
\lambda &0 &0 &a\\
-1 & \lambda & 0 & b\\
0 & -1 & \lambda & c \\
0 & 0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $

Bonjour, je pense que tu peux commencer par multiplier la deuxième ligne par un facteur habilement choisi puis l'additionner à la première. Ensuite, tu peux développer par rapport à une colonne, que je te laisse déterminer. La suite, c'est bis répétita.

Dernière modification par PTRK (01-09-2017 12:31:09)

Ssesar

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Re : Déterminant

Bonjour PTRK,

Merci de ta réponse, j'envisagerais de multiplier par lambda cette deuxieme ligne, pour comme tu le dis l'additionner à la premiere. Je pourrais ensuite déelopper par rapport à la premiere colonne?

PTRK

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Re : Déterminant

Ça me semble bon. Je te laisse continuer sur cette lancée, et donne nous le résultat final.

Ssesar

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Re : Déterminant

Je trouve donc lambda(-lambda^3 - lambda^2 + b + c*lambda) + a

PTRK

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Re : Déterminant

Je ne suis pas d'accord avec tes signes; Peux-tu écrire la suite des opérations que tu as fais. ex : L1 + lambda*L2 ...

Ssesar

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Re : Déterminant

ah bien j'ai développe par rapport à la premiere colonne où il ne restait que le -1. Mais je crois avoir fait une erreur de signe, car oui en recalculant, je trouve: lambda ( - lambda^3 - d*lambda^2 - c*lambda - b) - a

PTRK

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Re : Déterminant

Je ne suis toujours pas d'accord. Continue à chercher, mais si tu ne vois rien, ci-dessous la réponse

▼Réponse étape par étape

On cherche $ det(A) = \left |\begin{matrix}
\lambda &0 &0 &a\\
-1 & \lambda & 0 & b\\
0 & -1 & \lambda & c \\
0 & 0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $
On fait $L2 := \lambda L2 + L1$, on a alors
$\lambda det(A) = \left |\begin{matrix}
\lambda &0 &0 &a\\
0 & \lambda^2 & 0 & \lambda b + a\\
0 & -1 & \lambda & c \\
0 & 0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $. puis on développe par rapport à la première colonne.
$\lambda det(A) = \lambda \left |\begin{matrix}
\lambda^2 & 0 & \lambda b+a\\
-1 & \lambda & c \\
0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $.
Encore une fois : $L2 := \lambda^2 L2 + L1$
$\lambda^3 det(A) = \lambda \left |\begin{matrix}
\lambda^2 & 0 & \lambda b + a \\
0 & \lambda ^3 & c \lambda^2 +\lambda b + a\\
0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $. On développe une dernière fois / la 1ere colonne, et on a terminé.
$\lambda^3 det(A) = \lambda^3 \left |\begin{matrix}
\lambda ^3 & c \lambda^2 +\lambda b + a\\
-1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $.
$ \det(A) = \lambda ^4 +\lambda^3d + c\lambda^2+  b\lambda + a$

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