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On cherche $ det(A) = \left |\begin{matrix}
\lambda &0 &0 &a\\
-1 & \lambda & 0 & b\\
0 & -1 & \lambda & c \\
0 & 0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $
On fait $L2 := \lambda L2 + L1$, on a alors
$\lambda det(A) = \left |\begin{matrix}
\lambda &0 &0 &a\\
0 & \lambda^2 & 0 & \lambda b + a\\
0 & -1 & \lambda & c \\
0 & 0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $. puis on développe par rapport à la première colonne.
$\lambda det(A) = \lambda \left |\begin{matrix}
\lambda^2 & 0 & \lambda b+a\\
-1 & \lambda & c \\
0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $.
Encore une fois : $L2 := \lambda^2 L2 + L1$
$\lambda^3 det(A) = \lambda \left |\begin{matrix}
\lambda^2 & 0 & \lambda b + a \\
0 & \lambda ^3 & c \lambda^2 +\lambda b + a\\
0 & -1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $. On développe une dernière fois / la 1ere colonne, et on a terminé.
$\lambda^3 det(A) = \lambda^3 \left |\begin{matrix}
\lambda ^3 & c \lambda^2 +\lambda b + a\\
-1 & \lambda +d
\end{matrix}\right | $.
$ \det(A) = \lambda ^4 +\lambda^3d + c\lambda^2+  b\lambda + a$