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Fred · 04-03-2017 10:50:43

Oui !

sbl_bak · 04-03-2017 10:22:20

Si je rajoute la condition suivante sur la suite :
$f_n(x) = 0$ pour $-1\leq x < 0$

Ceci donne bien une limite de $f_n$ non $C^1$, est ce vrai?

sbl_bak · 04-03-2017 09:40:54

Merci beaucoup pour la démonstration.

Merci d'avoir était clair pour l'intérêt de cette exo, dont acte!

Fred · 04-03-2017 08:05:56

Re-

Je vais être plus clair. Je pense que ton prof s'est grossièrement trompé, et que cet exercice n'a pas de sens!
Avec le théorème de Weierstrass,voici une méthode pour démontrer que $X$ n'est pas complet.
Considère $f(x)=|x|$. Alors il existe une suite $(P_n)$ de polynômes telle que $(P_n)$ converge vers $f$ pour
$\|\cdot\|$. Autrement dit, $\|P_n-f\|_\infty\to 0$. La suite $(P_n)$ est une suite de Cauchy de $X$. Pourtant, elle ne converge
pas dans $X$ puisque $f$ n'est pas dans $X$.

F.

sbl_bak · 03-03-2017 19:40:37

Bonjour,

Oui je suis censé connaitre le théorème de Weirstrass :
$\forall \epsilon >0$ il existe un polynôme P tel que : $ \forall x \in [-1,1], |f(x) -P(x)|<\epsilon$
Question : quelle suite prendre pour montrer que X est complet? et il faudra appliquer le théorème de Weiestrass par la suite.

Remarque personnelle : je ne comprends toujours pas pourquoi il ne faut pas utiliser la suite de l'exo car je ne comprends plus le sens de cette exo, enfin!

Merci d'avance

Fred · 03-03-2017 09:51:56

Re-

Ce n'est pas avec cette suite là qu'on peut montrer que $X$ n'est pas complet pour cette norme.
Il faut procéder autrement! Connais-tu lle théorème de Weierstrass qui dit que toute fonction continue
est limite uniforme de polynômes???

F.

sbl_bak · 03-03-2017 08:37:22

Bonjour,
Merci pour la réponse pour la fonction C1.

Par contre on montre que fn est de Cauchy pourquoi X n'est pas complet pour norme infini

Merci d'avance

Fred · 02-03-2017 22:36:02

Salut,

Je pense que ton prof a fumé la moquette (à moins que ce ne soit moi!).
La suite $(f_n)$ converge vers la fonction $f(x)=x$ qui est tout ce qu'il y a de plus $C^1$.

Cela dit, ton prof a raison, $X$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ n'est pas complet...

F.

sbl_bak · 02-03-2017 21:59:41

Bonjour,

J'ai un exercice ou j'ai une question sur la correction du prof.

soit $X=C^1([-1,1]) l'espace des fonctions continument différentiable.

Soit $f_n(x) = x -(1/n) sin(nx)$ pour $0\leq x \leq 1$

Questions : montrer que $f_n$ est de Cauchy de X et en déduire que X muni de la $||.||_{\infty}$ n'est pas complet.

On montre de la façon suivante que $f_n$ est de Cauchy : $||f_p - f_n||_{\infty} \leq (1/p)+(1/n)$ qui converge vers 0 lors p et n tendent vers 0.

Le prof dit la chose suivante :"La limite n'est cependant clairement pas $C^1$, donc X n'est pas complet."

La je ne comprend pas le clairement pas $C^1$ ???

Pourriez vous svp m'aider à éclaircir ce point?

Merci d'avance

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