Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#5 30-01-2017 21:32:25
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Série des inverses des nombres premiers
Je veux bien traduire, mais il faut que je sache vers quelle langue !
On va faire par étapes :
1- Tu on te donne une suite $u_n$ qui converge vers une limite $l$ et une fonction $f$, qu'est-ce qu'on peut conclure sur la suite $v_n = f(u_n)$ ? De quelle propriété de $f$ a-t-on besoin pour conclure ?
Hors ligne
#6 31-01-2017 22:17:07
- chama.ldk
- Membre
- Inscription : 22-01-2017
- Messages : 6
Re : Série des inverses des nombres premiers
merci beaucoup yassine , je trouve une difficulté à déduire [tex] V_n \ge \sum_{j=1}^n \frac{1}{j}\ [/tex] la correction de cette question "4" me semble un peu ambigu sinon le reste c'est bien
Hors ligne
#7 01-02-2017 09:32:54
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Série des inverses des nombres premiers
Ok, c'est beaucoup plus précis.
Il y a deux observations à faire :
1- pout tout $ 1 \le j \le n$, le développement en facteurs premier de $j$ ne fait apparaître que des nombres premiers inférieurs ou égaux à $p_n$ :
$\displaystyle j = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$ avec $n \le p_n$ (dans cette écriture, certains $\alpha_i$ peuvent être nuls)
2- Si tu développes le produit
$(1+\dfrac{1}{p_1}+\dfrac{1}{p_1^2}+\cdots)(1+\dfrac{1}{p_2}+\dfrac{1}{p_2^2}+\cdots)\cdots(1+\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{p_n^2}+\cdots)$ tu te retrouves avec la somme $\displaystyle \sum_{\alpha_1=0}^{+\infty}\cdots\sum_{\alpha_n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}}$. Si maintenant tu utilises la première observation, tu remarques que tu as au moins tous les termes de la forme $j \le n$. d'où l'inégalité annoncée.
Hors ligne