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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 06-11-2016 02:54:10
- Sadaso
- Membre
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- Messages : 4
Algèbre linéaire/réduction
Bonsoir à tous,
je tiens à remercier les fondateurs pour l'énorme travail fourni afin de nous faciliter les études.
Sur la question suivante, c'est une question que je me pose sur l’intérêt de cette dernière.
Sachant que f est un endomorphisme diagonalisable, j'ai g et h deux endomorphismes d'un K espace vectoriel qu'on note E, commutant tous les deux avec f, il m'est demandé de montrer que g(x)=h(x) est vrai si et seulement si g=h
or mon problème est que je ne parviens pas à distinguer la différence entre ces deux expressions, mathématiquement parlant , quelle est la différence entre g(x)=h(x) et g=h
Je ne sais pas si c'est trivial , élémentaire ou très facile au point que je ne dois pas me poser cette question
mais une réponse serait tout de même la bienvenue
Merci d'avance !
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#4 06-11-2016 11:12:30
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : Algèbre linéaire/réduction
Salut,
En fait ton énoncé est incomplet. Quand tu dis
il m'est demandé de montrer que g(x)=h(x) est vrai si et seulement si g=h
$g$ et $h$ sont bien défini, mais pas $x$ ! On ne sait pas ce que représente le $x$.
Il y a forcément un quantificateur qui te dit ce qu'est $x$.
Par exemple, on peut avoir $(\forall x\in E, g(x)=h(x)) \Leftrightarrow g=h$. (qui est la définition de $g=h$)
ou bien $(\exists x\in E, g(x)=h(x)) \Leftrightarrow g=h$. (qui pourrait être ce que tu as à montrer.)
Dernière modification par tibo (06-11-2016 11:14:09)
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#5 06-11-2016 12:18:48
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Algèbre linéaire/réduction
Bonjour,
Il me parait douteux que la demande soit $(\exists x\in E, g(x)=h(x)) \Leftrightarrow g=h$, En effet, $x=0$ vérifie toujours la condition pour tous les endomorphismes.
De manière générale, si $f,g,h$ ont des matrices diagonales, ils commutent, et même si $g$ et $h$ coïncident sur un vecteur non nul, il n'est pas vrai qu'ils sont égaux.
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#6 06-11-2016 12:41:24
- tibo
- Membre expert
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- Messages : 1 097
Re : Algèbre linéaire/réduction
Re,
@Yassine : Oui je trouvais ça étrange aussi. Mais n'étant pas sûr de moi, j'ai préféré ne pas me prononcer sur l'intérêt de la question.
Peut-être est-ce pour $x\in E-\{0\}$...
Énoncé incomplet donc... impossible d'en dire plus.
Dernière modification par tibo (06-11-2016 12:41:33)
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#7 06-11-2016 13:03:49
- Sadaso
- Membre
- Inscription : 04-11-2016
- Messages : 4
Re : Algèbre linéaire/réduction
Bonjour
voici l'exercie au complet si ça peut éclaircir les choses.
Merci !
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#8 06-11-2016 13:15:16
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : Algèbre linéaire/réduction
Ok, donc $x$ n'est pas n'importe quel élément de $E$. $x$ est bien défini au début de l'exercice.
Fred avait donc raison au post #2
Tu sais que $g(x)=h(x)$
Et tu dois montrer que $\forall X\in E, g(X)=h(X)$
Dernière modification par tibo (06-11-2016 13:15:42)
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#9 06-11-2016 14:36:18
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Algèbre linéaire/réduction
ça change tout en effet.
Pour montrer que deux endomorphismes sont identiques (à savoir $h=g$), il est équivalent de montrer qu'ils coïncident sur une base.
Si par exemple $(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ est une base de $E$, alors $h=g \Leftrightarrow \forall i, h(e_i)=g(e_i)$.
Relis bien ton énoncé et tu devrais pouvoir y arriver.
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