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#1 12-10-2016 12:20:42
- sbl_bak
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espace des suites de fonctions
Bonjour,
Soit $l^p$ est espace des suites de fonctions = $\lbrace x \subset R^N, \sum_{0}^{\infty} |x_n|^p<\infty \rbrace$
Si $x\in l^p$, on sait en particulier que $lim_{n\rightarrow \infty} x_n = 0$ et par conséquent $x_n est bornée.
Ma question, pourquoi avons nous la limite de $x_n$ = 0 si $x\in l^p$ ?
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#5 13-10-2016 08:36:19
- sbl_bak
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Re : espace des suites de fonctions
Si $x\in l^p$ alors $\sum_{0}^{\infty} |x_n|^p$ est convergente car par définition de l'espace $l^p$ la série est bornée.
Donc si la série est convergente alors sont terme général tend vers 0.
Est ce que j'ai bien comprs?
Merci d'avance
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#10 15-10-2016 14:51:47
- Yassine
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Re : espace des suites de fonctions
Bonjour,
D'abord, oui, toute suite convergente est en effet bornée : elle s'approche aussi près que l'on veut de sa limite, donc, à partir d'un certain rang, $u_n \in [l-\varepsilon,l+\varepsilon]$. La convergence est plus forte que la "bornitude"
Ensuite, la phrase "toute suite de Cauchy" est convergente n'est vraie que dans les espaces de Banach (c'est la définition même de la complétude : toute suite de Cauchy est convergente). Cette phrase serait par exemple fausse que $\mathbb{Q}$. D'ailleurs, une des construction de $\mathbb{R}$ consiste à "compléter" $\mathbb{Q}$.
La "réciproque" est fausse (prendre par exemple la suite $u_n=(-1)^n$). Le théorème de Bolzano Weierstrass dit que de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.
Je pense que la remarque de Fred concerne plus un point de terminologie sur le terme "série". Une série n'est pas un nombre mais un objet mathématique constitué d'une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (qu'on appelle le terme général de la série) et la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{i=0}^n x_i$. On dit que la série converge quand la suite des sommes partielles converge.
J'imagine que ce que tu veux dire, c'est que la suite $S_n = \sum_{i=0}^n |x_i|^p$ est bornée. S'agissant d'une suite croissante (on ajoute à chaque fois un terme positif), dire qu'elle est bornée ou dire qu'elle convergente est équivalent.
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