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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- sbl_bak
- 15-10-2016 15:47:23
Merci Yassine pour les explications.
- Yassine
- 15-10-2016 14:51:47
Bonjour,
D'abord, oui, toute suite convergente est en effet bornée : elle s'approche aussi près que l'on veut de sa limite, donc, à partir d'un certain rang, $u_n \in [l-\varepsilon,l+\varepsilon]$. La convergence est plus forte que la "bornitude"
Ensuite, la phrase "toute suite de Cauchy" est convergente n'est vraie que dans les espaces de Banach (c'est la définition même de la complétude : toute suite de Cauchy est convergente). Cette phrase serait par exemple fausse que $\mathbb{Q}$. D'ailleurs, une des construction de $\mathbb{R}$ consiste à "compléter" $\mathbb{Q}$.
La "réciproque" est fausse (prendre par exemple la suite $u_n=(-1)^n$). Le théorème de Bolzano Weierstrass dit que de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.
Je pense que la remarque de Fred concerne plus un point de terminologie sur le terme "série". Une série n'est pas un nombre mais un objet mathématique constitué d'une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (qu'on appelle le terme général de la série) et la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{i=0}^n x_i$. On dit que la série converge quand la suite des sommes partielles converge.
J'imagine que ce que tu veux dire, c'est que la suite $S_n = \sum_{i=0}^n |x_i|^p$ est bornée. S'agissant d'une suite croissante (on ajoute à chaque fois un terme positif), dire qu'elle est bornée ou dire qu'elle convergente est équivalent.
- sbl_bak
- 15-10-2016 14:06:38
On peut exprimer que toute suite de Cauchy est convergente et bornée.
La réciproque toute suite bornée est convergente qui se démontre via le théorème de Bolzano Weirstrass.
- Fred
- 14-10-2016 21:02:38
Quel sens donnes-tu à "la série est bornée"???
- sbl_bak
- 14-10-2016 20:46:00
Merci pour la réponse.
$\sum_n |x_n|^p<+\infty$, je pensais que cette écriture signifiée que la série était bornée. non?
- Fred
- 13-10-2016 12:35:11
En réalité, écrire $\sum_n |x_n|^p<+\infty$ est une version courte pour écrire que la série est convergente.
F.
- sbl_bak
- 13-10-2016 08:36:19
Si $x\in l^p$ alors $\sum_{0}^{\infty} |x_n|^p$ est convergente car par définition de l'espace $l^p$ la série est bornée.
Donc si la série est convergente alors sont terme général tend vers 0.
Est ce que j'ai bien comprs?
Merci d'avance
- Fred
- 12-10-2016 19:46:56
La phrase "la limite tend vers 0" n'a pas de sens pour moi.
La limite d'une suite est un nombre réel (ou complexe). Un nombre réel ne tend pas vers 0, c'est un nombre...
F.
- sbl_bak
- 12-10-2016 19:44:56
Merci pour la réponse évidente.
La question est : si $x\in l^p$ alors on déduit que la limite tend vers 0.
- Fred
- 12-10-2016 12:47:47
Salut,
Parce que si une série est convergente, son terme général tend vers 0.
F.
- sbl_bak
- 12-10-2016 12:20:42
Bonjour,
Soit $l^p$ est espace des suites de fonctions = $\lbrace x \subset R^N, \sum_{0}^{\infty} |x_n|^p<\infty \rbrace$
Si $x\in l^p$, on sait en particulier que $lim_{n\rightarrow \infty} x_n = 0$ et par conséquent $x_n est bornée.
Ma question, pourquoi avons nous la limite de $x_n$ = 0 si $x\in l^p$ ?