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Fan3

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err sur dérivées partielles

Bonjour,
Soit x l'abscisse (en fonction de r,n et t) d'une coordonnée sphérique.   
[tex]\begin{cases}x&=r \cos n\cos t\\y&=r \sin n \cos t\\z&=r sin t\end{cases}[/tex]

En dérivant x  par rapport à r :
[tex]dx = \cos(n) \cos(t) dr[/tex]
on a l'expression (a) :     
[tex]\frac{dr}{dx}=\frac{1}{\cos n \cos t}[/tex]
-------------------------------------------------
Par ailleurs[tex] r^2 = x^2+y^2+z^2[/tex]

En dérivant r par rapport à x  :    [tex]2.r.dr = 2.x.dx[/tex]
d'où l'expression (b):     
[tex]\frac{dr}{dx}=\frac{x}{r}=\cos n \cos t[/tex]

Pourquoi (a) <> (b) ?
D'où peut venir l'erreur?

Dernière modification par yoshi (30-09-2016 19:43:21)

Terces

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,
Je crois que le problème quand tu fais (b) c'est que y et z dépendent de x en fait ce qui rend le résultat erroné.

Dernière modification par Terces (30-09-2016 18:39:59)

Fred

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,

  Terces a raison. Tu as trois variables (r,n,t d'un côté, ou x,y,z de l'autre).
Les notations que tu utilises sont trompeuses. Tu utilises les notations différentielles, alors que tu calcules en fait des dérivées partielles. Tu devrais en réalité écrire par exemple [tex]\frac{\partial r}{\partial x}=2x[/tex] plutôt que ce tu as écrit. Et tu n'as pas
$\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{1}{\frac{\partial r}{\partial x}}.$
Pour avoir une formule d'inversion, il faut écrire complètement la matrice jacobienne et inverser celle-ci.

F.

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

@Terces
Merci pour ta réponse.
En effet en considérant y et z dépendant de x , on arrive au même résultat que (a)
[tex]r^2=x^2+y^2+z^2[/tex]

[tex]2r\,dr=2x\,dx+2y\,dy+2z\,dz[/tex]

[tex]r\frac{dx}{dr}=x+y\frac{dy}{dx}+z\frac{dz}{dx}[/tex]

[tex]r\frac{dx}{dr}=x+y\frac{dy}{dr}\times \frac{dr}{dx}+z\frac{dz}{dr}\times \frac{dr}{dx}[/tex]

En remplaçant ces expressions par leurs valeurs, on trouve :
[tex]\frac{dr}{dx}=\frac{1}{\cos n \cos t}[/tex]

@Fred
Merci pour ces précisions que je vais examiner.

Dernière modification par yoshi (01-10-2016 10:16:44)

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,
Je crois que le problème quand tu fais (b) c'est que y et z dépendent de x en fait ce qui rend le résultat erroné.

Je suis un peu perplexe : pourquoi y et z dépendent elles de x ?
On a bien soit des coordonnées cartésiennes, donc x,y et z, soit des coordonnées sphériques notées ici r,n et t.

Terces

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,
Je crois que le problème quand tu fais (b) c'est que y et z dépendent de x en fait ce qui rend le résultat erroné.

Je suis un peu perplexe : pourquoi y et z dépendent elles de x ?
On a bien soit des coordonnées cartésiennes, donc x,y et z, soit des coordonnées sphériques notées ici r,n et t.

Re,
très simplement x dépend de r, n et t mais y aussi. Donc si x varie alors r, n ou t varient ce qui fait varier y (de manière générale) donc x et y ne sont pas indépendantes. De même avec z.

yoshi

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Re : err sur dérivées partielles

Bonjour,

@Fan3
Après le post #1, je t'ai montré pour la deuxième fois (post #4) qu'on arrive au même résultat avec le langage Latex qu'avec une image au demeurant fort grosse (avec pourtant chez moi un affichage en 1920 x 1200 : je n'ose même pas imaginer ce que ce doit être avec des résolutions inférieures...).
En outre une image, selon les hébergeurs a une durée de vie assez courte et est susceptible de disparaître sans préavis.
Une image n'est pas la bonne solution pour afficher du texte......
Je précise que je n'ai dû faire usage que de la syntaxe la plus basique, élémentaire...
Pour utiliser Latex (et ce n'est vraiment pas la mer à boire !), 2 cas se présentent :
ou tu as l'environnement Java installé sur ta machine ou pas.

- Tu as le Java et
   * soit tu n'as pas peur de t'initier, alors pas mal de gens se sont inspirés avec profit (y compris des collégiens) de cette page :
     Code LaTeX : là, tu contrôles tout de A à z
   * soit tu n'as pas envie de te lancer, et alors tu peux utiliser l'éditeur d'équation maison en cliquant sur Insérer une équation.
      Il ressemble aux éditeurs d'équations des Traitements de Texte : souris +clavier, et est assez intuitif
     On y peut accéder à une page de familiarisation minimale (70 ko !) en .pdf
- Tu n'as pas le Java installé et alors soit tu peux l'installer, soit tu passes par une lecture de Code LaTeX : là, tu n'as besoin que de tes doigts et ton cerveau ^=^ ...

@+

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,
Je crois que le problème quand tu fais (b) c'est que y et z dépendent de x en fait ce qui rend le résultat erroné.

Je suis un peu perplexe : pourquoi y et z dépendent elles de x ?
On a bien soit des coordonnées cartésiennes, donc x,y et z, soit des coordonnées sphériques notées ici r,n et t.

Re,
très simplement x dépend de r, n et t mais y aussi. Donc si x varie alors r, n ou t varient ce qui fait varier y (de manière générale) donc x et y ne sont pas indépendantes. De même avec z.

Je ne suis pas d'accord.

Prenons une mouche qui vole dans une pièce et notons $p$ le point où elle se trouve à un instant donné. Je suppose qu'il n'y a aucune contrainte sur son vol (pièce très grande, pression homogène, etc.). Son mouvement possède donc trois degré de liberté, chacun des degré pouvant varier indépendamment des autres. Ce n'est pas parce que je décide de regarder le point $p$ dans un système de coordonnées cartésiennes ou sphériques que cela change quoi que ce soit. Si je modélise le point avec des coordonnées cartésiennes $p \to (x^1, x^2, x^3)$ ou sphériques $p \to (r, \phi, \psi)$ que ça change quoi que ce soit à la nature de son mouvement !
Elle peut voler selon des droites du repère cartésiens ou selon des grands cercles ou le long d'un axe radial du repère sphérique.

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

@yoshi
le Java installé sur mon PC me conseille de n'accepter que les websites en https avec ce msg d'err :
"vos paramètres de sécurité ont bloqué l'exécution d'une application non sécurisée"

----------------------------------------------
rectification (en latex) sur le post#4
en lignes 3 et 4 ce ne sont pas dx/dr mais :

[tex]{ r }\frac { dr }{ dx } \quad =\quad x+y\frac { dy }{ dr } \frac { dr }{ dx } +z\frac { dz }{ dr } \frac { dr }{ dx } [/tex]

[tex] \frac { dr }{ dx } \quad =\quad \frac { x }{ r-y\frac { dy }{ dr } -z\frac { dz }{ dr }  } [/tex]

yoshi

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Re : err sur dérivées partielles

Salut,

Bin, voilà ! Latex est quand même assez souple...

Effectivement j'ai interverti dr et dx, l'image d'origine (tiens, je n'avais pas remarqué, l'image comportait une bande blanche inutile en bas de plus de 100 pixels de haut) était :

J'avais pourtant copié l'image dans mon post (puis supprimé avant validation), mais ça m'avait quand même échappé...
Toutes mes excuses...

L'application JAVA du site est parfaitement sûre...

@+

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Juste pour dire que les symboles écrits dans le post ci-dessus n'ont pas de définition précise en dehors du cas de dimension 1. Dans ce cas, on écrit $\frac{df}{dx}$ pour noter la dérivé $f'$ de $f$.
Autant je connais la définition précise de $dx$, $dy$ et $dz$ dans le cas de dimension 3 (formes différentielles), autant je ne vois pas trop ce que veut dire $\frac{dy}{dx}$.

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

@yassine
Idem,  dy/dx ne me disait rien non plus.
Mais en écrivant dy/dx ,en faisant ressortir dr, comme produit de (dy/dr).(dr/dx) ,
on retrouve la correspondance.

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

@Fan3,

Sauf que lorsque les symboles n'ont pas une définition précise, il n'est pas aisé de connaitre les opérations licites qu'on peut faire dessus.
Est-ce que $(dx)^2 = 0$, est-ce $\frac{dx}{dy}$ est l'inverse de $\frac{dy}{dx}$, etc, etc.
Comme le disais Fred, il faut passer par les matrices jacobiennes, avec des dérivées partielles.

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

lorsque par exemple y = x² 
dy =2xdx   

  [tex]\frac { dy }{ dx }= 2x [/tex]    OU     [tex]\frac { dx }{ dy } [/tex] =  [tex]\frac { 1}{ 2x } [/tex]
on a bien    [tex]\frac { dx }{ dy } [/tex] =  [tex]\frac { 1 }{ \frac { dy}{ dx }  } [/tex]

--------------------
je suppose ,ce que disait Fred sont les dérivées partielles
[tex]\frac { \partial y }{ \partial x } \neq \frac { 1 }{ \frac { \partial x }{ \partial y }  } [/tex]

Dernière modification par yoshi (02-10-2016 12:24:41)

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Comme je l'ai indiqué, ça marche très bien dans le cas unidimension. ici, tu considère la fonction à une variable $f (x) = x^2$, on peut alors parler de $\frac{df}{dx}=f'(x) = 2x$. De plus, si tu dérive la fonction réciproque $(f^{-1})(y) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{2x}$. Tu pourras donc noter cette dérivée $\frac{dx}{df}$.

En dehors de ce cas, je ne vois pas.
Si tu prends $f(x,y) = x^2 + y^2$, je ne vois pas quel sens on peut donner $\frac{df}{dx}$ ou $\frac{df}{dy}$, ni encore moins à $\frac{dy}{dx}$.

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

En effet c'était un exemple à une seule variable :(
----------------------------------------------------------------
Mais dans le cas de 2 variables on peut partir  d'une ligne de courbe f =c  pour retrouver dy/dx ,
[tex]{ f }_{ (x,y) }\quad =\quad c\quad =\quad cte\\ df\quad =\quad \frac { \delta f }{ \delta x } dx\quad +\frac { \delta f }{ \delta y } dy\quad =\quad 0\\ [/tex]
[tex] \frac { dy }{ dx } \quad =\quad -\frac { \frac { \delta f }{ \delta x }  }{ \frac { \delta f }{ \delta y }  }  [/tex]
Pour   f = x²+y²    =>    dy/dx = - x/y
Avec  [tex]f\quad \neq cte[/tex] on trouve df/dy  ou  df/dx
----------------------------------
Dans le cas de 3 variables

[tex]{ f }_{ (x,y,z) }\quad =\quad c =cte\\ df\quad =\quad \frac { \delta f }{ \delta x } dx+\frac { \delta f }{ \delta y } dy+\frac { \delta f }{ \delta z } dz\quad =0\\  [/tex]
[tex]\frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { \frac { \delta f }{ \delta x } +\frac { \delta f }{ \delta z } \frac { dz }{ dx }  }{ \frac { \delta f }{ \delta y }  } [/tex]
Dans  l'exemple des coordonnées sphériques où x,y et z sont fonction de r,n et t :
[tex]{ f }_{ (x,y,z) }\quad =\quad c\quad =\quad { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 }{ +z }^{ 2 }[/tex]
[tex]\frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { x+z\frac { dz }{ dx }  }{ y } \quad =\quad -\frac { x+z\frac { dz }{ dr } \frac { dr }{ dx }  }{ y }  [/tex]
[tex] \frac { dy }{ dx } =\quad -\frac { \cos ^{ 2 }{ n } .\cos ^{ 2 }{ t } +\sin ^{ 2 }{ t }  }{ \sin { n } .\cos { t }  } [/tex]
--------------------------------
c'est noté pour l'inverse et sa dérivée :)

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

@Fan3:

Prenons un espace vectoriel de dimension 2, muni d'une base que je note $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$.
Il existe deux réels $\lambda_1, \lambda_2$ tels que $\lambda_1 \vec{e}_1 - \lambda_2 \vec{e}_2 = \vec{0}$. Avec tes "calculs", je peux alors écrire $\displaystyle \frac{\vec{e}_1}{\vec{e}_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ !!!
Outre le fait que les $\lambda_i$ sont nuls (comme les sont $\displaystyle \frac{\partial cste}{\partial x}$ et $\displaystyle \frac{\partial cste}{\partial y}$), on utilise une opération de multiplication de vecteurs qui n'est absolument pas définie.

Ce que tu fais est exactement la même chose, les $dx$ et $dy$ sont des "vecteurs" : ce sont des éléments d'un certain espace vectoriel de dimension 2, dont ils constituent une base, si bien que toute forme différentielle s'écrit de manière unique comme $df = \lambda_x dx + \lambda_y dy$. Sur cet espace, il n'y a pas d'opération de multiplication qui le transforme en corps (quand tu "divises" par $dx$, tu multiplies implicitement par l'inverse de $dx$).

On montre que $\lambda_x = \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ et idem pour $\lambda_y$, on retrouve alors la formule connue $\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.

[EDIT]
Précisions sur la décomposition.
Et correction d'une énorme faute d'orthographe !

Dernière modification par Yassine (03-10-2016 12:45:48)

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

j'ignore comment on  fait le lien entre dérivée partielle et espace vectorielle

mais dans ton exemple
si  [tex]\lambda_1 \vec{e}_1 - \lambda_2 \vec{e}_2 = \vec{0}[/tex]  alors   [tex]\lambda_1 .{  e}_{ 1j } - \lambda_2 .{e  }_{ 2j }= 0[/tex]  pour chaque terme  j

Maintenant si  [tex]\vec{e}_1[/tex] est composé d'un unique terme  dx
de même [tex]\vec{e}_2[/tex] avec  dy
n'avons-nous pas    [tex]\lambda_1 .dx - \lambda_2 .dy= 0[/tex]  ?

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Bonsoir,
Je vois que mon exemple avec $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$ a ajouté de la confusion.

Ce que je voulais dire, c'est que le symbole $dx$, contrairement à son interprétation en physique n'est pas "un déplacement infinitésimal le long de l'axe $x$", c'est une forme linéaire (application linéaire vers $\mathbb{R}$) sur un certain espace vectoriel (appelé l'espace tangent). Si j'appelle $V$ cet espace vectoriel tangent, alors $dx \in V^* = \mathcal{L}(V, \mathbb{R})$ (l'espace dual de $V$). Il n'y a aucune notion de pseudo-produit sur $V^*$ (on construit plutôt une algèbre dite "algèbre extérieur", et pas sur $V^*$, mais sur une structure plus grande).
Je dis pseudo parce qu'il n'est pas aisé de comprendre tes "calculs", d'abord tu "divises" par $dy$, c'est quoi cette opération, est-ce la multiplication par un "inverse" de $dy$, si oui, c'est un inverse pour quelle structure de corps sur $V^*$ ( je rappelle que $(V^*,+)$ est déjà un groupe additif). En supposant que tu construises ce corps $(V^*,+,\times)$, le résultat de $df \times (dy)^{-1}$ devrait être un élément de $V^*$, or, tu l'égalises avec un réel ou une fonction, selon les cas.

Last but not least, dans l'égalité $\displaystyle  \frac { dy }{ dx } = -\frac { \frac { \partial f }{ \partial x }  }{ \frac { \partial f }{ \partial y }  }$ que tu donnes dans le cas où $f = cste$, as-tu remarqué que tu utilise une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ?

Dernière modification par Yassine (03-10-2016 17:35:06)

Fan3

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Re : err sur dérivées partielles

Maintenant si  [tex]\vec{e}_1[/tex] est composé d'un unique terme  dx
de même [tex]\vec{e}_2[/tex] avec  dy

ça veut pas dire que dx et dy sont colinéires et (dx,dy) ne forment pas une base?

@Yassine
c'est hors de ma connaissance

Yassine

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Re : err sur dérivées partielles

Ok, pas trop grave.
Tu aborderas certainement ces notions à un moment de ton parcours.