Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ok, pas trop grave.
Tu aborderas certainement ces notions à un moment de ton parcours.

Bonsoir,
Je vois que mon exemple avec $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$ a ajouté de la confusion.

Ce que je voulais dire, c'est que le symbole $dx$, contrairement à son interprétation en physique n'est pas "un déplacement infinitésimal le long de l'axe $x$", c'est une forme linéaire (application linéaire vers $\mathbb{R}$) sur un certain espace vectoriel (appelé l'espace tangent). Si j'appelle $V$ cet espace vectoriel tangent, alors $dx \in V^* = \mathcal{L}(V, \mathbb{R})$ (l'espace dual de $V$). Il n'y a aucune notion de pseudo-produit sur $V^*$ (on construit plutôt une algèbre dite "algèbre extérieur", et pas sur $V^*$, mais sur une structure plus grande).
Je dis pseudo parce qu'il n'est pas aisé de comprendre tes "calculs", d'abord tu "divises" par $dy$, c'est quoi cette opération, est-ce la multiplication par un "inverse" de $dy$, si oui, c'est un inverse pour quelle structure de corps sur $V^*$ ( je rappelle que $(V^*,+)$ est déjà un groupe additif). En supposant que tu construises ce corps $(V^*,+,\times)$, le résultat de $df \times (dy)^{-1}$ devrait être un élément de $V^*$, or, tu l'égalises avec un réel ou une fonction, selon les cas.

Last but not least, dans l'égalité $\displaystyle  \frac { dy }{ dx } = -\frac { \frac { \partial f }{ \partial x }  }{ \frac { \partial f }{ \partial y }  }$ que tu donnes dans le cas où $f = cste$, as-tu remarqué que tu utilise une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ?

@Fan3:

Prenons un espace vectoriel de dimension 2, muni d'une base que je note $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$.
Il existe deux réels $\lambda_1, \lambda_2$ tels que $\lambda_1 \vec{e}_1 - \lambda_2 \vec{e}_2 = \vec{0}$. Avec tes "calculs", je peux alors écrire $\displaystyle \frac{\vec{e}_1}{\vec{e}_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ !!!
Outre le fait que les $\lambda_i$ sont nuls (comme les sont $\displaystyle \frac{\partial cste}{\partial x}$ et $\displaystyle \frac{\partial cste}{\partial y}$), on utilise une opération de multiplication de vecteurs qui n'est absolument pas définie.

Ce que tu fais est exactement la même chose, les $dx$ et $dy$ sont des "vecteurs" : ce sont des éléments d'un certain espace vectoriel de dimension 2, dont ils constituent une base, si bien que toute forme différentielle s'écrit de manière unique comme $df = \lambda_x dx + \lambda_y dy$. Sur cet espace, il n'y a pas d'opération de multiplication qui le transforme en corps (quand tu "divises" par $dx$, tu multiplies implicitement par l'inverse de $dx$).

On montre que $\lambda_x = \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ et idem pour $\lambda_y$, on retrouve alors la formule connue $\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.

[EDIT]
Précisions sur la décomposition.
Et correction d'une énorme faute d'orthographe !

Comme je l'ai indiqué, ça marche très bien dans le cas unidimension. ici, tu considère la fonction à une variable $f (x) = x^2$, on peut alors parler de $\frac{df}{dx}=f'(x) = 2x$. De plus, si tu dérive la fonction réciproque $(f^{-1})(y) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{2x}$. Tu pourras donc noter cette dérivée $\frac{dx}{df}$.

En dehors de ce cas, je ne vois pas.
Si tu prends $f(x,y) = x^2 + y^2$, je ne vois pas quel sens on peut donner $\frac{df}{dx}$ ou $\frac{df}{dy}$, ni encore moins à $\frac{dy}{dx}$.

@Fan3,

Sauf que lorsque les symboles n'ont pas une définition précise, il n'est pas aisé de connaitre les opérations licites qu'on peut faire dessus.
Est-ce que $(dx)^2 = 0$, est-ce $\frac{dx}{dy}$ est l'inverse de $\frac{dy}{dx}$, etc, etc.
Comme le disais Fred, il faut passer par les matrices jacobiennes, avec des dérivées partielles.

Juste pour dire que les symboles écrits dans le post ci-dessus n'ont pas de définition précise en dehors du cas de dimension 1. Dans ce cas, on écrit $\frac{df}{dx}$ pour noter la dérivé $f'$ de $f$.
Autant je connais la définition précise de $dx$, $dy$ et $dz$ dans le cas de dimension 3 (formes différentielles), autant je ne vois pas trop ce que veut dire $\frac{dy}{dx}$.

@yoshi
le Java installé sur mon PC me conseille de n'accepter que les websites en https avec ce msg d'err :
"vos paramètres de sécurité ont bloqué l'exécution d'une application non sécurisée"

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rectification (en latex) sur le post#4
en lignes 3 et 4 ce ne sont pas dx/dr mais :

[tex]{ r }\frac { dr }{ dx } \quad =\quad x+y\frac { dy }{ dr } \frac { dr }{ dx } +z\frac { dz }{ dr } \frac { dr }{ dx } [/tex]

[tex] \frac { dr }{ dx } \quad =\quad \frac { x }{ r-y\frac { dy }{ dr } -z\frac { dz }{ dr }  } [/tex]

Bonjour,

@Fan3
Après le post #1, je t'ai montré pour la deuxième fois (post #4) qu'on arrive au même résultat avec le langage Latex qu'avec une image au demeurant fort grosse (avec pourtant chez moi un affichage en 1920 x 1200 : je n'ose même pas imaginer ce que ce doit être avec des résolutions inférieures...).
En outre une image, selon les hébergeurs a une durée de vie assez courte et est susceptible de disparaître sans préavis.
Une image n'est pas la bonne solution pour afficher du texte......
Je précise que je n'ai dû faire usage que de la syntaxe la plus basique, élémentaire...
Pour utiliser Latex (et ce n'est vraiment pas la mer à boire !), 2 cas se présentent :
ou tu as l'environnement Java installé sur ta machine ou pas.

- Tu as le Java et
   * soit tu n'as pas peur de t'initier, alors pas mal de gens se sont inspirés avec profit (y compris des collégiens) de cette page :
     Code LaTeX : là, tu contrôles tout de A à z
   * soit tu n'as pas envie de te lancer, et alors tu peux utiliser l'éditeur d'équation maison en cliquant sur Insérer une équation.
      Il ressemble aux éditeurs d'équations des Traitements de Texte : souris +clavier, et est assez intuitif
     On y peut accéder à une page de familiarisation minimale (70 ko !) en .pdf
- Tu n'as pas le Java installé et alors soit tu peux l'installer, soit tu passes par une lecture de Code LaTeX : là, tu n'as besoin que de tes doigts et ton cerveau ^=^ ...

@+