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sbl_bak

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Détermination du logarithme

Bonsoir,
Je souhaite prouver que $\ell_1 \mapsto -\lambda(1-z)$ est une détermination analytique du logarithme sur $D_{1}=D(1,1)$ si $z \in D(0,1)$  et $\displaystyle \lambda(z) = \sum_{n\in N}\frac{z^{n+1}}{n+1}$.

J'exprime $\ell_1$ de la façon suivante :
$\displaystyle \ell_1(z)=-\sum_{n\in N}\frac{z^{n+1}}{n+1} + \sum_{n\in N}\frac{z^{n+2}}{n+1}$
$\displaystyle \ell_1'(z)=-\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)z^{n+1}}{n+1}$
Le premier terme est $-\sum_{n=1}^{\infty}z^n = -\frac{1}{1-z}$ pour $|z|<1$
Après intégration du premier terme on obtient un logarithme.

En intégrant $\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k\geq 0}z^k \Leftrightarrow -ln(1-z) + ln(1-0) =  \sum_{k\geq 0}\frac{z^{k+}}{k+1} = \sum_{k\geq 1}\frac{z^k}{k}$
donc
$\displaystyle -ln(1-z)  =  \sum_{k\geq 1}\frac{z^k}{k}$ $(1)$

Nous avons :
$\displaystyle \ell_1'(z)=-\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)z^{n+1}}{n+1}
= -\sum_{n=1}^{\infty}z^n + \sum_{n=2}^{\infty}z^n +\sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n}$

Les deux premières somme s'annulent, on trouve
$\displaystyle \ell_1'(z)= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ $(2)$

En intégrant (2) et en utilisant le résultat (1) on obtient :
$\displaystyle \ell_1(z)= -ln(1-z)$

ce qui prouve que $l_1$ est une détermination analytique du logarithme sur $D_1(1,1)$

Je ne suis pas sur du résultat donc un avis avisé me serait bien utile.

Merci d'avance

Yassine

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Re : Détermination du logarithme

Bonjour,
Pourrais-tu expliciter comment tu passes de $\displaystyle \ell_1(z) = -\lambda(1-z) = -\sum_{n\in N}\frac{(1-z)^{n+1}}{n+1}$ à
$\displaystyle \ell_1(z)=-\sum_{n\in N}\frac{z^{n+1}}{n+1} + \sum_{n\in N}\frac{z^{n+2}}{n+1}$

J'aurais pour ma part calculé $\displaystyle \ell_1'(z) = \lambda'(1-z) = ...$

sbl_bak

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Re : Détermination du logarithme

Bonjour Yassine,

Merci de votre réponse.

Ce que j'ai fait c'est complétement faux.

Effectivement, j'ai fait les calculs avec $l_1(z)=\lambda(z)(1-z)$ donc c'est faux.

J'arrive au résultat avec une autre erreur car je ne peux pas annulé terme à terme $-\sum_{n\geq 1}z^n$ et $\sum_{n\geq 2}z^n$ ce qui est égale à $-z$ et non $0$.

Enfin je dois reprendre tout ca et faire une réponse correct et ne pas laisser le résultat faux.

sbl_bak

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Re : Détermination du logarithme

Exprimons correctement $l1_(z)$

$\displaystyle l_1(z) = -\sum_{n\geq 0}\frac{(1-z)^n}{n+1}$
Calculons la dérivée
$\displaystyle l_1(z) = \sum_{n\geq 1}(1-z)^n$
Posons t= 1-z, donc
$\displaystyle l_1(z) = \sum_{n\geq}t^n$ , pour $|t|<1$

$\displaystyle \int_{0}^{t}\sum_{n\geq 0}\psi^n \mathrm{d}\psi = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-\psi} \mathrm{d}\psi = -log(1-t) +K(0)$ avec $K(0)=0$

On obtient donc , $l_1(t) = log(1-t)$ pour $|t|<1$
Nous pouvons donc écrire $l_1(z) = -log(z)$ pour $|1-z|<1$

Ce qui prouve que $l_1$ est une détermination du logarithme sur $C - ]-\infty,0]$, et plus particulièrement sur $D(1,1)$ pour $|1-z|<1$

En esperant que cette fois ci je ne suis sur la bonne direction.

Merci.

Yassine

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Re : Détermination du logarithme

Bonjour sbl_bak,
Il manque des prime (tu écris $l_1(z)$ au lieu de $l'_1(z)$. La puissance dans l'expression de $l_1(z)$ est $n+1$ et non $n$, soit $\displaystyle l_1(z) = -\sum_{n\geq 0}\frac{(1-z)^{n+1}}{n+1}$
D'autre part, tes indices ne sont pas corrects : la somme pour $l'_1(z)$ démarre bien à partir de $n=0$ (qui correspond au terme $n=0$ dans l'expression de $l_1(z)$.
Pour $|z-1| < 1$, tu as $\displaystyle l'_1(z) = \sum_{n\geq 0}(1-z)^n = \frac{1}{1-(1-z)} = \frac{1}{z}$.
Ce qui donne donc $zl'_1(z) = 1$, et il me semble que c'est une caractérisation des déterminations du logarithme complexe ?

Dernière modification par Yassine (18-09-2016 12:59:17)

sbl_bak

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Re : Détermination du logarithme

Bonjour Yassine, merci pour la réponse très claire.
Pourriez vous svp me donner des informations complémentaires sur la caractérisation du logarithme complexe?
Merci d'avance!

Yassine

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Re : Détermination du logarithme

Bonjour,
je ne suis pas un grand expert de la théorie des fonctions holomorphes, je ne pourrai pas t'aider plus.
La page Wikipedia sur le logarithme complexe me semble bien faite, on y parle notamment de la caractérisation par équation différentielle (ici)