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espresso

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Equation différentielle et série entière

Bonsoir tout le monde,

Je cherche à résoudre l'équation différentielle [tex]y''(x)+2xy'(x)+2y(x)=0[/tex] en mettant les solutions sous forme de série entière : [tex]y(x)=\sum_{n\geq 0} a_nx^n[/tex]

On a donc que [tex](E)[/tex] équivaut à [tex]2a_0+4a_1x+\sum_{n\geq 2} \big((n+1)(n+2)a_{n+2}+2(n+1)a_n\big)x^n=0[/tex]

Ainsi, on a :

[tex]2a_0+4a_1x=0[/tex] et [tex](n+1)(n+2)a_{n+2}+2(n+1)a_n=0[/tex] soit [tex]a_0+2a_1x=0[/tex] et [tex]a_{n+2}=-\dfrac{2}{n+2}a_n[/tex]

Je ne parviens pas dégager une relation de récurrence et, quand bien même, la relation [tex]a_0+2a_1x=0[/tex] impose que [tex]a_0=0[/tex] et [tex]a_1=0[/tex], et par conséquent, que [tex]a_n=0[/tex] pour tout [tex]n[/tex] ...

Merci pour votre aide :)

Fred

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Re : Equation différentielle et série entière

Salut,

  Je n'ai pas refait tous tes calculs, mais clairement, dans y''(x) tu as un terme constant qui n'apparait pas (2a2).
Et donc tu dois avoir [tex]a_0+a_2=0[/tex]....
Ensuite, ta relation de récurrence, tu l'as... Mais elle va de 2 en 2. A ta place, je l'écrirai sous la forme [tex]a_{2p+2}=... a_{2p}[/tex].

F.

espresso

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Re : Equation différentielle et série entière

Merci pour ta réponse !

Effectivement, avec la relation de récurrence [tex]a_{2p+2}=-\dfrac{2}{2p+2}a_{2p}[/tex], il vient que [tex]a_{p}=\dfrac{(-1)^p}{p!}a_0[/tex] puis que [tex]y(x)=a_0e^{-x^2}[/tex] est solution de [tex](E)[/tex].

Par contre, je ne parviens à montrer que [tex]a_0+a_2=0[/tex].

Voilà mon calcul :

[tex]\sum_{n\ge 2} n(n-1)a_nx^{n-2}+2\sum_{n\geq 1} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]

[tex]\sum_{n\ge 2} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n+2\sum_{n\geq 0} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]

[tex]\sum_{n\ge 0} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n-a_2-6a_3+2\sum_{n\geq 0} na_nx^n+2\sum_{n\geq 0} a_nx^n=0[/tex]

Je ne vois pas l'erreur ... !

Merci à vous :)

Fred

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Re : Equation différentielle et série entière

Re-

  L'erreur est dans le changement d'indice dans la première somme (passage de la première à la deuxième ligne).
Tu ne dois plus sommer à partir de n=2, mais à partir de n=0.

F.

espresso

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Re : Equation différentielle et série entière

J'en reviens pas de bloquer sur des erreurs de calculs aussi bêtes ... !

Merci :)