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[tex]
W^{1,\infty}=\{u \in L^{\infty}(\Omega), D^{\alpha}u \in L^{\infty}(\Omega), \forall \alpha \in \mathbb{R}^n\}
[/tex]
?
Mais j'ai lu une autre définition avec le sup essentiel, que je n'ai pas compris. C'est quoi cette définition exacte avec le sup essentiel? et c'est quoi la différence avec la définition en utilisant [tex]L^{\infty}[/tex]?
Merci beaucoup

[tex]|x|^p[/tex]  est bornée sur[tex] [-1,1][/tex] elle est donc [tex]L^p[/tex] quelque soit [tex]p[/tex], et sa dérivée au sens des distribution est[tex] sgn(x)[/tex] qui est L^^p pour tout  p \in [1,+\infty[, donc [tex]f \in W^{1,p}(I)[/tex]. Vous êtes d'accord?
Si oui, et pour p=\infty? Quand est-ce qu'on dit d'une fonction qu'elle est [tex]W^{1,\infty}[/tex]?
Merci d'avance.

Bonjour,
j'ai la question suivantes:
on considère l'intervalle  [tex]I=]-1,1[[/tex], et la fonction $f(x)=|x|.$ La question est: pour quels  $p \in [1,+\infty[$ on a $f \in W^{1,p}(I)?$
Voici la solution que je propose: tout d'abord, on rappel que
$$
W^{m,p}(I)=\{u \in L^p(I), D^{\alpha} u \in L^p(I) \forall |\alpha| \leq m\}
$$
where D^{\alpha} u $ est la dérivée au sens des distributions. Donc,
$$
W^{1,p}(I)= \{u \in L^p(I), u' \in L^p(I)\}
$$
En premier, on cherche $p$ t.q $u \in L^p(I).$ On a:
$$
\displaystyle\int_{-1}^1 |x|^p dx = \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p dx + \displaystyle\int_0^1 x^p dx = -\dfrac{(1)^{p+1}}{p+1} + \dfrac{(1)^{p+1}}{p+1}= 0
$$
On conclut que $u \in L^p(I)$ pour tout $p$?

En second, on cherche $p$ tel que $u' \in L^p(I)$. On a pour tout $\varphi \in D(I)$
$$
<u',\varphi>=-<u,\varphi'> = - \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_0^1 x^p \varphi'(x) dx
$$
En intégrant par parties, on trouve
$$
\displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^p \varphi'(x)dx = [(-x)^p \varphi(x)]_{-1}^0 + p \displaystyle\int_{-1}^0 (-x)^{p-1} \varphi(x) dx
$$
and
$$
\displaystyle\int_0^1 x^p \varphi'(x)dx = [x^p \varphi(x)]_0^1 - p \displaystyle\int_0^1 x^{p-1} \varphi(x) dx
$$
Mais je n'arrive pas à continuer et à trouver [tex]p[/tex].
Merci par avance de votre aide.