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#1 14-09-2015 13:28:29
- Mouhcine
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Le Spectre
Bonjour à tous, je voudrais savoir pour quelles valeurs de [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex], pour tout [tex]g\in L^2(\mathbb R)[/tex], il existe un [tex]f\in H^2(\mathbb R)[/tex] tel que [tex]f^{''} −\lambda f = g[/tex].
Merci d'avance
Dernière modification par Mouhcine (14-09-2015 13:29:20)
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#3 14-09-2015 23:53:48
- Mouhcine
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Re : Le Spectre
Bonne nuit Roro, ok, On passe en Fourier, on trouve [tex]-(\xi^2+\lambda)\widehat f=\widehat g[/tex],
la question au-dessus est équivalente donc à la suivante: pour quelles valeurs de [tex]\lambda[/tex], pour tout [tex]\hat{g}\in L^2[/tex], il existe [tex]\widehat f\in H^2[/tex] tel que [tex]-(\xi^2+\lambda)\widehat f=\widehat g[/tex]?
Merci d'avance
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#5 15-09-2015 10:39:09
- Mouhcine
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Re : Le Spectre
Bonjour, ah bon, vous avez raison, [tex]f[/tex] doit vérifié [tex]\widehat f\in\mathcal{F}(H^2)[/tex].
Et la question devient, pour tout [tex]\hat{g}\in L^2[/tex], il existe [tex]\widehat f\in\mathcal{F}(H^2)[/tex] tel que [tex]-(\xi^2+\lambda)\widehat f=\widehat g[/tex]?
Merci d'avance
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#7 15-09-2015 23:26:43
- Mouhcine
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Re : Le Spectre
Bonsoir Roro, la question: pour tout [tex]\hat{g}\in L^2[/tex], il existe [tex]\widehat f\in\mathcal{F}(H^2)[/tex] tel que [tex]-(\xi^2+\lambda)\widehat f=\widehat g[/tex]?
Est équivalente à: pour tout [tex]\hat{g}\in L^2[/tex], il existe [tex]\widehat f\in\mathcal{F}(H^2)[/tex] tel que [tex]\widehat f=-\dfrac{1}{\xi^2+\lambda} \widehat g[/tex]?
Et [tex]f\in \mathcal{F}H^2 [/tex] signifie que : [tex] \widehat f\in L^2(\mathbb R) [/tex] telle que [tex]\quad \xi^2 \widehat f \in L^2 [/tex].
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#8 16-09-2015 05:55:57
- Roro
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Re : Le Spectre
Bonjour Mouhcine,
Exact, tu as donc presque la réponse à la question : pour quelle valeur de [tex]\lambda[/tex] a-t-on :
[tex]\forall \xi \in \mathbb R, \quad -\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2[/tex] ?
Roro.
P.S. Je viens de modifier suite au message suivant de Mouhcine qui avait raison. Cela ne change pas vraiment ma question...
Dernière modification par Roro (16-09-2015 12:53:40)
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#10 19-09-2015 20:26:16
- Mouhcine
- Membre
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Re : Le Spectre
Bonsoir Roro, j'ai essayé et je n'arrive pas à trouver pour quel [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex], on a [tex]-\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2, \qquad \forall \xi \in \mathbb R[/tex],
est ce que vous pouvez me donner une indication pour la trouver.
Merci d'avance
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#11 19-09-2015 20:53:38
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Le Spectre
Une indication : [tex]\hat g[/tex] est dans [tex]L^2[/tex], si tu la multiplies par une fonction bornée, cela reste dans [tex]L^2[/tex]. En revanche,
si le dénominateur de [tex] |\xi|^2/(|\xi|^2+\lambda)[/tex] s'annule, et si [tex]\hat g[/tex] ne s'annule pas en ce point, le produit ne sera pas localement intégrable au voisinage du pole.
F.
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#12 19-09-2015 21:17:51
- Mouhcine
- Membre
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Re : Le Spectre
Bonsoir Fred, Comme la fonction [tex]\xi \rightarrow |\xi|^2/(|\xi|^2+\lambda) [/tex] est bornée et [tex]\hat g \in L^2[/tex] (puisque [tex]g \in L^2[/tex] ), alors [tex]\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2[/tex].
Mais où intervient localement intégrable ici ?
Merci d'avance
Dernière modification par Mouhcine (19-09-2015 21:18:32)
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#14 19-09-2015 22:48:39
- Mouhcine
- Membre
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Re : Le Spectre
Ah bon, j'ai été rapide, ce que je sais, pour [tex]\lambda >0[/tex], [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex]est bornée.
Mais pour [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] je peux rien dire !!!
Dernière modification par Mouhcine (19-09-2015 23:16:40)
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#15 20-09-2015 12:48:58
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Le Spectre
Finalement, ta question devient : pour quelles valeurs de [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] la fonction [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda}[/tex] est-elle bornée sur [tex]\mathbb R[/tex] ?
Celle-ci n'est pas trop compliquée...
Roro.
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#16 25-09-2015 22:12:57
- Mouhcine
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Re : Le Spectre
Bonsoir, puisque [tex]\lim_{\xi \rightarrow \pm \infty}\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda} =1[/tex]
On a d'après un petit lemme : si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]\mathbb R[/tex] (ce qui bien sûr le cas si [tex] \lambda \notin \mathbb R_−[/tex]) et [tex]f[/tex] a une limite finie en [tex]+\infty[/tex] et en [tex]-\infty[/tex], alors [tex]f[/tex] est bornée.
Dernière modification par Mouhcine (26-09-2015 09:27:18)
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#20 27-09-2015 22:17:54
- Mouhcine
- Membre
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Re : Le Spectre
Bonsoir Fred, c'est juste donc ce que j'ai écris ??, i.e:
puisque [tex]\lim_{\xi \rightarrow \pm \infty}\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda} =1[/tex]
On a d'après un petit lemme : si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]\mathbb R[/tex] (ce qui bien sûr le cas si [tex] \lambda \notin \mathbb R_−[/tex]) et [tex]f[/tex] a une limite finie en [tex]+\infty[/tex] et en [tex]-\infty[/tex], alors [tex]f[/tex] est bornée.
Non?
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#22 28-09-2015 01:34:16
- Mouhcine
- Membre
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Re : Le Spectre
Bonne nuit,
On résume donc, d'après ce qui précède, on a [tex]\forall \lambda \notin \mathbb R_−[/tex], [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex] est bornée sur [tex]\mathbb R[/tex], et [tex]\hat g \in L^2(\mathbb R)[/tex] (puisque [tex]g \in L^2(\mathbb R)[/tex] ), alors [tex]\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2(\mathbb R)[/tex], [tex]\forall \lambda \notin \mathbb R_−[/tex].
@ Roro et Fred : Merci beaucoup pour votre aide ...
A+
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