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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Mouhcine
- 28-09-2015 01:34:16
Bonne nuit,
On résume donc, d'après ce qui précède, on a [tex]\forall \lambda \notin \mathbb R_−[/tex], [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex] est bornée sur [tex]\mathbb R[/tex], et [tex]\hat g \in L^2(\mathbb R)[/tex] (puisque [tex]g \in L^2(\mathbb R)[/tex] ), alors [tex]\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2(\mathbb R)[/tex], [tex]\forall \lambda \notin \mathbb R_−[/tex].
@ Roro et Fred : Merci beaucoup pour votre aide ...
A+
- Fred
- 27-09-2015 22:19:34
Oui, c'est juste.
- Mouhcine
- 27-09-2015 22:17:54
Bonsoir Fred, c'est juste donc ce que j'ai écris ??, i.e:
puisque [tex]\lim_{\xi \rightarrow \pm \infty}\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda} =1[/tex]
On a d'après un petit lemme : si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]\mathbb R[/tex] (ce qui bien sûr le cas si [tex] \lambda \notin \mathbb R_−[/tex]) et [tex]f[/tex] a une limite finie en [tex]+\infty[/tex] et en [tex]-\infty[/tex], alors [tex]f[/tex] est bornée.
Non?
- Fred
- 27-09-2015 22:12:21
En résumé, tu sais donc faire l'exercice si j'ai bien suivi?!?
- Mouhcine
- 26-09-2015 09:28:52
Bonjour, j'ai modifie mon message, la fonction [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex] est continue sur [tex]\mathbb R[/tex], [tex]\forall \lambda \notin \mathbb R_−[/tex].
- Roro
- 26-09-2015 06:50:02
Bonjour,
La fonction [tex]f[/tex] que tu considères n'est pas continue sur [tex]\mathbb R[/tex] pour n'importe quel [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] ...
Roro.
- Mouhcine
- 25-09-2015 22:12:57
Bonsoir, puisque [tex]\lim_{\xi \rightarrow \pm \infty}\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda} =1[/tex]
On a d'après un petit lemme : si [tex]f[/tex] est continue sur [tex]\mathbb R[/tex] (ce qui bien sûr le cas si [tex] \lambda \notin \mathbb R_−[/tex]) et [tex]f[/tex] a une limite finie en [tex]+\infty[/tex] et en [tex]-\infty[/tex], alors [tex]f[/tex] est bornée.
- Roro
- 20-09-2015 12:48:58
Finalement, ta question devient : pour quelles valeurs de [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] la fonction [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+ \lambda}[/tex] est-elle bornée sur [tex]\mathbb R[/tex] ?
Celle-ci n'est pas trop compliquée...
Roro.
- Mouhcine
- 19-09-2015 22:48:39
Ah bon, j'ai été rapide, ce que je sais, pour [tex]\lambda >0[/tex], [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex]est bornée.
Mais pour [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex] je peux rien dire !!!
- Roro
- 19-09-2015 21:57:50
Es-tu certain que [tex]\xi \mapsto \frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda}[/tex] est bornée ?
Roro.
- Mouhcine
- 19-09-2015 21:17:51
Bonsoir Fred, Comme la fonction [tex]\xi \rightarrow |\xi|^2/(|\xi|^2+\lambda) [/tex] est bornée et [tex]\hat g \in L^2[/tex] (puisque [tex]g \in L^2[/tex] ), alors [tex]\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2[/tex].
Mais où intervient localement intégrable ici ?
Merci d'avance
- Fred
- 19-09-2015 20:53:38
Une indication : [tex]\hat g[/tex] est dans [tex]L^2[/tex], si tu la multiplies par une fonction bornée, cela reste dans [tex]L^2[/tex]. En revanche,
si le dénominateur de [tex] |\xi|^2/(|\xi|^2+\lambda)[/tex] s'annule, et si [tex]\hat g[/tex] ne s'annule pas en ce point, le produit ne sera pas localement intégrable au voisinage du pole.
F.
- Mouhcine
- 19-09-2015 20:26:16
Bonsoir Roro, j'ai essayé et je n'arrive pas à trouver pour quel [tex]\lambda \in \mathbb C[/tex], on a [tex]-\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2, \qquad \forall \xi \in \mathbb R[/tex],
est ce que vous pouvez me donner une indication pour la trouver.
Merci d'avance
- Mouhcine
- 16-09-2015 12:29:33
Pardons Roro, [tex]\xi [/tex] est dans [tex]\mathbb R[/tex], non?
- Roro
- 16-09-2015 05:55:57
Bonjour Mouhcine,
Exact, tu as donc presque la réponse à la question : pour quelle valeur de [tex]\lambda[/tex] a-t-on :
[tex]\forall \xi \in \mathbb R, \quad -\frac{|\xi|^2}{|\xi|^2+\lambda} \widehat g \in L^2[/tex] ?
Roro.
P.S. Je viens de modifier suite au message suivant de Mouhcine qui avait raison. Cela ne change pas vraiment ma question...