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#1 05-04-2015 21:54:00
- topologie
- Membre
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localement compact ?
Salut,
j'ai cette question: soit [tex]f: E\rightarrow E'[/tex] une application continue et ouverte et soit [tex]A[/tex] un ensemble localement compact, montrer que f(A) est localement compact.
Moi je dis: soit [tex]y\in f(A)[/tex], alors il existe x\in A tel que [tex]y=f(x)[/tex], comme [tex]A[/tex] est localement compact, [tex]x[/tex] possède un voisinage compact.
Et la je bloque je n'arrive pas à utiliser que [tex]f[/tex] est continue et ouvert pour montrer que [tex]y[/tex] possède un voisinage compact .
merci
Dernière modification par topologie (05-04-2015 21:54:18)
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#2 06-04-2015 07:33:59
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : localement compact ?
Plutôt que de dire que [tex]x[/tex] possède un voisinage compact, tu devrait dire qu'il existe un ouvert [tex]U[/tex] contenant [tex]x[/tex] et tel que [tex]\bar U[/tex] est compact. Après, c'est tout bête? Que dire de l'image d'un compact par une application continue? Que dire de l'image d'un ouvert par une application ouverte?
F.
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#6 06-04-2015 20:01:43
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : localement compact ?
Tu veux dire, est-ce que l'image d'un espace localement compact par une application continue est localement compact?
Je ne crois pas.
Tu prends [tex]P=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\}[/tex], [tex] A=\{(-1,-1)\}\cup P[/tex], [tex]B=\{(0,0)\}\cup P[/tex]. Alors :
* [tex]A[/tex] est localement compact;
* [tex]B[/tex] n'est pas localement compact;
* L'application [tex]f:A\to B[/tex] définie par [tex]f(-1,-1)=(0,0)[/tex] et [tex]f(x,y)=(x,y)[/tex] sinon est continue.
F.
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#9 07-04-2015 12:11:25
- mad83
- Membre
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Re : localement compact ?
Euh je ne veux pas sembler stupide mais comment prouver que ton application est continue? Nan parce que dans mon esprit, si elle est continue alors lorsqu'on prend une suite (xn,yn) tendant vers (-1,-1) alors f(xn,yn) doit tendre vers (-1,-1) par définition de la fonction et non vers (0,0).
Bah c'est surement encore une ânerie de ma part, mais on est habitué maintenant...
Dernière modification par mad83 (07-04-2015 12:16:20)
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#11 07-04-2015 12:56:04
- mad83
- Membre
- Inscription : 12-10-2014
- Messages : 39
Re : localement compact ?
Bon ok...
Mais si je prends xn= -1 + 1/n et yn= -1 + 1/n.
On a bien: f(xn,yn)=(-1 + 1/n,-1 + 1/n) qui tend vers (-1,-1) et non (0,0).
J'admets n'avoir étudier jusqu'ici des continuités que pour des applications à valeur dans R et non R2 ou quelque autre ensemble que ce soit. J'élargis donc ce que je sais de la caractérisation séquentielle... Mais dans mes yeux de novice ça ressemble à un point de discontinuité.
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#12 07-04-2015 18:00:42
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : localement compact ?
Certes, mais (-1+1/n,-1+1/n) n'est pas dans le domaine de définition de f. Je n'ai défini f que sur le demi-plan droit et en (-1,1), pas ailleurs.
C'est pour cela que j'ai réussi à construire un contre-exemple, avec un exemple trop simple, je n'aurai pas réussi.
F.
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