Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » localement compact ?
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 07-04-2015 20:31:54
Je crois que oui.
- topologie
- 07-04-2015 18:32:40
s'il vous plait l'espace de départ peut etre un espace topologique quelconque ?
- Fred
- 07-04-2015 18:00:42
Certes, mais (-1+1/n,-1+1/n) n'est pas dans le domaine de définition de f. Je n'ai défini f que sur le demi-plan droit et en (-1,1), pas ailleurs.
C'est pour cela que j'ai réussi à construire un contre-exemple, avec un exemple trop simple, je n'aurai pas réussi.
F.
- mad83
- 07-04-2015 12:56:04
Bon ok...
Mais si je prends xn= -1 + 1/n et yn= -1 + 1/n.
On a bien: f(xn,yn)=(-1 + 1/n,-1 + 1/n) qui tend vers (-1,-1) et non (0,0).
J'admets n'avoir étudier jusqu'ici des continuités que pour des applications à valeur dans R et non R2 ou quelque autre ensemble que ce soit. J'élargis donc ce que je sais de la caractérisation séquentielle... Mais dans mes yeux de novice ça ressemble à un point de discontinuité.
- Fred
- 07-04-2015 12:31:53
Ben non, elle doit tendre vers [tex]f(-1,-1)=(0,0)[/tex]. Elle est continue car [tex](-1,-1)[/tex] est un point isolé.
- mad83
- 07-04-2015 12:11:25
Euh je ne veux pas sembler stupide mais comment prouver que ton application est continue? Nan parce que dans mon esprit, si elle est continue alors lorsqu'on prend une suite (xn,yn) tendant vers (-1,-1) alors f(xn,yn) doit tendre vers (-1,-1) par définition de la fonction et non vers (0,0).
Bah c'est surement encore une ânerie de ma part, mais on est habitué maintenant...
- Fred
- 07-04-2015 07:13:59
Mon contre-exemple prouve que ce n'est pas le cas!
- topologie
- 06-04-2015 21:46:40
mais si je prend directement un voisinage compact U de x , f(U) n'est pas automatiquement un voisinage de y ?
- Fred
- 06-04-2015 20:01:43
Tu veux dire, est-ce que l'image d'un espace localement compact par une application continue est localement compact?
Je ne crois pas.
Tu prends [tex]P=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\}[/tex], [tex] A=\{(-1,-1)\}\cup P[/tex], [tex]B=\{(0,0)\}\cup P[/tex]. Alors :
* [tex]A[/tex] est localement compact;
* [tex]B[/tex] n'est pas localement compact;
* L'application [tex]f:A\to B[/tex] définie par [tex]f(-1,-1)=(0,0)[/tex] et [tex]f(x,y)=(x,y)[/tex] sinon est continue.
F.
- topologie
- 06-04-2015 09:31:48
peut on démontrer directement sans utiliser le fait que f est ouvert ?
- Fred
- 06-04-2015 09:13:03
Si tu as un voisinage relativement compact tu prends l'adhérence et tu as un voisinage compact !
- topologie
- 06-04-2015 08:53:39
Mais localement compact veut dire que tout point a un voisinage compact, et non pas un voisinage relativement compact !!!!
- Fred
- 06-04-2015 07:33:59
Plutôt que de dire que [tex]x[/tex] possède un voisinage compact, tu devrait dire qu'il existe un ouvert [tex]U[/tex] contenant [tex]x[/tex] et tel que [tex]\bar U[/tex] est compact. Après, c'est tout bête? Que dire de l'image d'un compact par une application continue? Que dire de l'image d'un ouvert par une application ouverte?
F.
- topologie
- 05-04-2015 21:54:00
Salut,
j'ai cette question: soit [tex]f: E\rightarrow E'[/tex] une application continue et ouverte et soit [tex]A[/tex] un ensemble localement compact, montrer que f(A) est localement compact.
Moi je dis: soit [tex]y\in f(A)[/tex], alors il existe x\in A tel que [tex]y=f(x)[/tex], comme [tex]A[/tex] est localement compact, [tex]x[/tex] possède un voisinage compact.
Et la je bloque je n'arrive pas à utiliser que [tex]f[/tex] est continue et ouvert pour montrer que [tex]y[/tex] possède un voisinage compact .
merci