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#1 23-03-2015 16:29:45
- topologie
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Ensemble localement connexe
Bonsoir,
J'ai cet ensemble [tex]A=\{\frac1n, n\in\mathbb{N}^*\}[/tex] et [tex] f: \mathbb{N}\rightarrow A\cup \{0\}[/tex] définie par [tex]f(0)=0, f(n)=\frac1n, \forall n>0[/tex]
f est surjective par construction, elle est injective et continue (en utilisant les suites )
la question à laquelle je n'arrive a pas a y répondre est montrer que [tex]f(\mathbb{N})= A\cup \{0\}[/tex] n'est pas localement connexe.
Merci
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#3 24-03-2015 10:49:41
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Bonjour, En fait je n'avais pas remarqué que [tex]\overline{A}=A\cup\{0\}[/tex] et je sais précédemment que [tex]\overline{A}[/tex] n'est pas localement connexe.
Au moment de rédiger j'ai eu un problème dans la continuité, en effet si je prend une suite [tex]x_n[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui converge vers [tex]x[/tex] , je dois montrer que [tex]f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex] , alors je distingue deux cas [tex]x_n=0[/tex] ou [tex] x_n\neq 0[/tex] .
Si x_n=0 alors sa limite [tex]x=0[/tex] donc on a [tex]f(x_n)=f(0)=0=f(0)=f(x)[/tex]
Si [tex]x_n\neq 0[/tex] alors [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n} \rightarrow \frac1x[/tex]
Ma question est ce que dans [tex]\mathbb{N}[/tex] l'unique suite qui vers 0 est la suite nulle, est ce que toute les suite non nulle dans \mathbb{N} diverge automatiquement à l'infinie bien sure!
Merci
Dernière modification par topologie (24-03-2015 10:50:51)
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#5 24-03-2015 14:28:14
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Mais la limite est égale à zéro uniquement si la suite est nulle ou si elle s'annule à partir d'un certain rang c'est ça ?
Si je dis [tex]x_n\neq 0,\forall n[/tex] la limite n'est pas nulle je peux écrire [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n}\rightarrow \frac1x=f(x)[/tex]
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#7 24-03-2015 15:33:03
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Ok, merci beaucoup
En fait je crois que le but de l'exercice est de dire que l'image d'un ensemble localement connexe par une fonction continue n'est pas forcément localement connexe c'est ça ?
est ce que ça marche lorsque l'application est un homéomorphisme ?
Merci
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#10 24-03-2015 20:38:36
- Fred
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Re : Ensemble localement connexe
C'est vrai que "cela marche" ou "cela ne marche pas" n'est pas clair.
Je voulais dire qu'on ne peut pas construire de contre-exemple avec un homéomorphisme.
Ou que l'image d'un localement connexe par arcs par un homéomorphisme est localement connexe par arcs.
F.
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#11 18-05-2015 17:44:42
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Bonjour, En fait je n'avais pas remarqué que [tex]\overline{A}=A\cup\{0\}[/tex] et je sais précédemment que [tex]\overline{A}[/tex] n'est pas localement connexe.
Au moment de rédiger j'ai eu un problème dans la continuité, en effet si je prend une suite [tex]x_n[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui converge vers [tex]x[/tex] , je dois montrer que [tex]f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex] , alors je distingue deux cas [tex]x_n=0[/tex] ou [tex] x_n\neq 0[/tex] .
Si x_n=0 alors sa limite [tex]x=0[/tex] donc on a [tex]f(x_n)=f(0)=0=f(0)=f(x)[/tex]
Si [tex]x_n\neq 0[/tex] alors [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n} \rightarrow \frac1x[/tex]
Ma question est ce que dans [tex]\mathbb{N}[/tex] l'unique suite qui vers 0 est la suite nulle, est ce que toute les suite non nulle dans \mathbb{N} diverge automatiquement à l'infinie bien sure!
Merci
S'il vous plait mr Fred est ce que ma démonstration pour montrer que f est continue est 100% juste ?
Merci
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#12 18-05-2015 20:36:27
- Fred
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Re : Ensemble localement connexe
Non, ta démonstration n'est pas 100% juste. Tu ne peux pas dire : si [tex]x_n=0[/tex], alors sa limite est [tex]x=0[/tex].
Ta suite pourrait très bien être égale à 0 un certain temps, puis après égale à autre chose. D'ailleurs, quand tu dis je distingue deux cas, [tex]x_n=0[/tex] ou [tex]x_n\neq 0[/tex], tu ne mets pas de quantificateurs sur n, on ne sait pas où il vit.
Il faut raisonner autrement, en distinguant suivant les valeurs de la limite. Ou bien [tex]x=0[/tex], ou bien [tex]x\neq 0[/tex].
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#13 18-05-2015 21:16:55
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Donc je dis: soit [tex]x_n[/tex] une suite de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui converge vers [tex]x\in \mathbb{N}[/tex] , on veux montrer que [tex]f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex]
Si [tex]x=0[/tex] alors [tex]f(x)=f(0)=0[/tex] mais comment montrer que f(x_n) tend vers 0 ?
Si [tex]x\neq 0[/tex] alors [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n}[/tex] converge vers [tex]\frac{1}{x}=f(x)[/tex]
Dernière modification par topologie (18-05-2015 21:17:31)
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#14 18-05-2015 21:56:51
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Re : Ensemble localement connexe
Mais je ne comprend pas pourquoi par définition de f on a [tex]f(0)=0, f(n)=\frac1n, \forall n>0[/tex]
donc la condition doit être sur [tex]x_n[/tex] si [tex]x_n=0\forall n[/tex] ou [tex]x_n >0 \forall n[/tex] non ?
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#16 19-05-2015 06:41:12
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Donc je dis: soit [tex]x_n[/tex] une suite de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui converge vers [tex]x\in \mathbb{N}[/tex] , on veux montrer que [tex]f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex]
Si [tex]x=0[/tex] alors [tex]f(x)=f(0)=0[/tex] mais comment montrer que f(x_n) tend vers 0 ?
Si [tex]x\neq 0[/tex] alors [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n}[/tex] converge vers [tex]\frac{1}{x}=f(x)[/tex]
Bien vous avez raison , mais comment je fait ici[tex] x_n[/tex] converge vers[tex] 0[/tex] comment faire pour dire que[tex] f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(0)=0[/tex] ?
Merci
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#20 19-05-2015 13:32:35
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Je ne comprend pas si [tex]x_n=0[/tex] a partir d'un certain rang pourquoi [tex]f(x_n) =0[/tex] ?
j'essaye d'écrire mais si par exemple [tex]x_0=1[/tex] et [tex]x_n=0[/tex] pour [tex]n\geq 1[/tex] , comment est définie [tex]f(x_n)[/tex] ?
Dernière modification par topologie (19-05-2015 13:43:11)
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#21 19-05-2015 20:22:09
- Fred
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Re : Ensemble localement connexe
Je crois que tu n'as pas du tout compris les objets. [tex](f(x_n))[/tex] est une suite. Dans le cas que tu donnes, cette suite est égale à 1 si n=0, puis à 0 si n est supérieur ou égal à 1.
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#22 19-05-2015 20:55:55
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Re : Ensemble localement connexe
Donc Soit [tex]x_n[/tex] une suite de [tex]\mathbb{N}[/tex] convergente vers [tex]x[/tex] , on cherche à montrer que [tex]f(x_n)[/tex] converge vers [tex]f(x)[/tex]
Pour cela on distingue deux cas :
1) [tex]x=0[/tex]: dans ce cas soit[tex] x_n[/tex] est identiquement nulle soit elle s'annule à partir d'un certain rang
si x_n est identiquement nulle alors c'est claire [tex]f(x_n)=0=f(0)[/tex] , si [tex]x_n[/tex] s'annule à partir d'un certain rang alors [tex]f(x_n)[/tex] s'annule à partir d'un certain rang donc [tex]f(x_n)[/tex] tend vers [tex]0=f(0)[/tex]
2) [tex]x\neq 0[/tex] : Dans ce cas [tex]x_n[/tex] ne s'annule pas alors [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n}\rightarrow \frac1x=f(x)[/tex]
est ce que c'est correcte s'il vous plait ?
Dernière modification par yoshi (19-05-2015 21:04:33)
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#23 19-05-2015 21:27:35
- Fred
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Re : Ensemble localement connexe
Je ne suis pas totalement d'accord :
1) Dans le premier cas, pas besoin de distinguer entre soit elle est identiquement nulle, soit elle est nulle à partir d'un certain rang. La deuxième possibilité inclut la première, il suffit de choisir le rang égal à 0.
2) Dans le deuxième cas, [tex](x_n)[/tex] pourrait s'annuler. Par exemple, [tex]x_0=x_1=\dots=x_3=0[/tex] et [tex]x_n=0[/tex] pour [tex]n\geq 3[/tex]... Mais elle ne s'annule pas à partir d'un certain rang....
Par ailleurs, pour désigner la suite, on met des parenthèses!
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#24 19-05-2015 21:49:16
- topologie
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Re : Ensemble localement connexe
Je ne comprend pas dans 2) on a dit x\neq 0 je ne comprend pas votre choix !
Je peux dire directement comme [tex]x\neq 0, (x_n)[/tex] ne s'annule pas à partir d'un certain rang et donc [tex]f(x_n)=\frac{1}{x_n}\rightarrow \frac1x=f(x)[/tex]
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