Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sotsirave

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je vous ai apporté des bonbons...

Bonjour

Quatre paniers contiennent le même nombre de bonbons.
Avec les bonbons du premier panier, on remplit le maximum de sachets de 12 bonbons chacun et le reste est placé dans le second panier.
Avec les bonbons du second panier, on remplit le maximum de sachets de 15 bonbons chacun et le reste est placé  dans le 3ième  panier.
Avec les bonbons du 3ième panier, on remplit le maximum de sachets de 16 bonbons chacun et le reste est placé dans le 4ième panier.
Avec les bonbons du 4ième panier, il est alors possible de remplir des sachet de 20 bonbons chacun sans qu'il y ait de reste.
On obtient ainsi 62 sachets au total.

A l'origine combien y avait-il de bonbons dans chaque panier ?

Bon appétit

freddy

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Salut,

très joli sujet. Je vais chercher, attends un peu avant de donner la réponse. Merci !

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

jpp

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

salut.

▼logiquement

En plaçant le plus petit multiple commun de 12,15,16 &20 dans chacun des 4 grands paniers ,c'est à dire 240 bonbons, on ne laisse aucun bonbon dans chacun des 4 paniers ;

et on remplit   20 + 16 + 15 + 12 = 63 sacs de bonbons. il y a donc un sac de trop .

il faut donc en enlever n dans chacun des paniers  , donc 4n au total. Alors on peut dire qu'il y aura un sac de 12 bonbons en moins . et comme on a retiré 4n bonbons,

4n = 12  -->  n=3   .  conclusion:  il y a 237 bonbons par panier.

freddy

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Salut,

perso, voilà où j'en suis.

▼idée

Aux termes de l'énoncé, on a les 5 équations suivantes, avec B le nombre de bonbons, [tex]p_i[/tex]  et[tex] r_i[/tex] des nombres entiers non négatifs.

[tex]B = p_1\times 12+r_1[/tex]
[tex]B +r_1= p_2\times 15+r_2[/tex]
[tex]B +r_2= p_3\times 16+r_3[/tex]
[tex]B +r_3= p_4\times 20[/tex]
[tex] p_1+p_2+p_3+p_4=62[/tex]

On déduit en particulier que [tex]4\times B = 12p_1+15p_2+16p_3+20p_4[/tex] mais je ne vois pas quoi en faire.

A part utiliser un automate, je ne vois pas bien quel raisonnement mettre en place pour trouver la solution, sauf à me dire que c'est un sujet de récréation mathématique et qu'il y a une petite astuce à imaginer.

Cette nuit, en cherchant le sommeil, j'avais imaginé l'hypothèse selon laquelle chaque reste[tex] r_i[/tex] était nul. Partant, le nombre B doit être divisible par 12, 15, 16 et 20. Le premier qui convient est 240. Ce qui permet d'établir les dividendes suivants :
[tex]p_1 = 20[/tex] , [tex]p_2 = 16[/tex] , [tex]p_3 = 15[/tex] et [tex]p_4 = 12[/tex], soit un total de 63 sachets de bonbons.
Manifestement, il y a un sachet de trop. Mais dans quel panier ?

A suivre ...

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LeSingeMalicieux

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Bonjour,

Mathématiquement parlant, je n'ai aucune idée de comment résoudre ce genre de problème basé sur des divisions entières.
Par contre en utilisant un tableur j'arrive rapidement à

▼cette solution :

237

EDIT : Du coup je viens de regarder ta solution jpp, eh bien je te tire mon chapeau !

Dernière modification par LeSingeMalicieux (06-02-2015 13:20:19)

freddy

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Re,

Je termine.

▼suite

A la réflexion, avec le jeu du report des restes successifs, s'il doit y avoir un sachet en moins, il ne peut être que dans le premier panier. On en déduit, avec l'équation 5, que [tex]4\times (B-3) = 12(p_1-1)+15p_2+16p_3+20p_4[/tex] et on vérifie que c'est OK :

[tex] 237 = 19\times 12+9[/tex]
[tex]237 + 9 = 16\times 15 + 6[/tex]
[tex] 237+6 = 15\times 16 + 3[/tex]
[tex]237+3 = 12\times 20[/tex]

Sujet sympa, qui donne bien à réfléchir. Merci encore !

Dernière modification par freddy (06-02-2015 16:34:50)

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totomm

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Bonjour,

Le raisonnement de jpp est bon, je préfère cependant la démarche de freddy.
J'ai listé, (force brute). Les solutions pour un nombre de paquets différent de 62 ou 63, et un raisonnement général ne semble pas très évident à démontrer !!
Si le nombre p de paquets est fixé, partir de la partie entière de [tex]n=\frac{240p}{63}[/tex] puis ajouter 0, 1 ou 2 fonctionne bien.
Est-ce la seule méthode générale ?

sotsirave

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Re : je vous ai apporté des bonbons...

Bonsoir

▼ une solution

On appelle a le nombre de bonbons de chaque panier et K1, k2 , k3, k4  les nombres de sachets.
On obtient :
            a = 12k1 + r1   avec 0<r1<12
        a  + r1 = 15k2 + r2  avec 0<r2<15
        a + r2  = 16k3 + r3 avec 0<r3<16
         a + r3 = 20k4
    
    et par addition :
        4a =  12k1 + 15k2 + 16k3 + 20k4 .

(On peut déduire que r2 est pair, r1, r3 et a de même parité et de la dernière relation k2 = 4b.)

    De plus k1+ k2 + k3 +k4 = 62 (1)

Les restés étant limités, on expriment les ki en fonction de a et des restes ri que l’on place dans (1).
On obtient, après simplification :

          63a = 14 880  + 4r1 +  r2 + 3r3.

On en déduit que 14 888 < 63a< 14 983 donc 236.3 < a < 237.9

La réponse est donc a = 237.

Remarque : ce problème est issu de «  Jeux et Stratégie » mais je ne connais pas leur solution.
    On peut utiliser une solution plus intuitive comme celles ci-dessus.
    Par exemple , on se doute que le nombre de sachets est « à peu près » proportionnel au nombre de bonbons. On peut donc faire une simulation pour une centaine de bonbons, calculer le nombre de sachets et faire une sorte « d’interpolation » pour le nombre 62 de sachets.