Devoir maison TS

madmoiz'elle974 · 03-01-2015 10:17:57

BonjOur!! :) Je suis en terminal S et j'ai eu un devoir maison compliqué qui rassemble plusieurs leçons vue depuis la première jusqu'à présent ( révision pour le bac qui approche à grand pas). Il y a un seul exercice (si-dessous) qui me pose problème et que j'arrive pas à me rappeler des méthodes malgré les révisions... BrEff pourriez vous m'aider s'il vous plais ?

A partir d’une série de données (ici : quantités cumulées de CO2), on effectue une modélisation au moyen d’une suite numérique
A. Données :

Au début du 21°siècle est parue une étude indiquant les quantités cumulées de CO2 (en milliards de tonnes) provenant de la consommation de pétrole et de l’activité industrielle mondiales depuis 1940 :

B. Modélisation au moyen d’une suite numérique :

On note y0 la quantité de CO2 émise jusqu’en 1940 , …., yn celle émise jusqu’à l’année 1940 + 5n.

1 a) A l’aide d’un tableur d’une calculatrice ou d’un ordinateur, calculer à 10-2 (dix puissance moins 2) près les variations relatives entre deux mesures consécutives.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Année 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rang n 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CO2 184,4 212,8 243,3 277,4 320,6 372,6 438,9 521,5 615,2 710,0 817,8 931,8 1072,2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
yn-yn-₁ x
_____
yn-₁
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) Déterminer la moyenne m et l’écart-type de la série constitué de ces variations. Justifier qu’on peut modéliser la suite (yn) par une suite telle que la variation relative entre deux termes consécutifs est constante et égale à 0,16.

2) On considère alors la suite (qn) définie par q0 = y0 et, pour n>0, qn-qn-₁
_________ =0,16
qn-₁

a) Montrer que (qn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
b) Déterminer qn en fonction de n.
c) Représenter les suites (qn) et (yn) dans un même repère.
d) Avec ce modèle, déterminer la quantité cumulée de CO2 prévisible en 2010.
e) Avec ce modèle, à l’aide de la calculatrice, déterminer en quelle année la quantité de CO2 dépassera 2000 milliards de tonnes.

PS: HappY Years !!

Dernière modification par madmoiz'elle974 (03-01-2015 10:20:41)

Choukos · 04-01-2015 01:48:37

Bonjour,
Quelques pistes :

1) a) La formule est rappelée dans ton tableau apparemment, calcule brutalement avec ta calculette. Je n'ai pas fais les calculs mais au vu de la suite de l'exercice, tu devrais obtenir des choses proches de 0,16.
1) b) Applique tes formules pour la moyenne et l'écart-type. Je n'ai pas fais les calculs, mais sûrement que 0,16 est la moyenne et l'écart-type est faible.

2) a) Exprime [tex]q_n[/tex] en fonction de [tex]q_{n-1}[/tex].
2) b) Par récurrence.
2) c) Les deux suites doivent normalement être proches une fois représentées.
2) d) On ne connaît pas [tex]y_n[/tex], qui sont les vraies valeur de CO2. On veut calculer [tex]q_{14}[/tex] notre prévision en 2010 d'après le modèle.
2) e) Si tu as compris la 2) d), la 2) e) ne posera pas de soucis !

A toi !

Dernière modification par Choukos (04-01-2015 01:50:49)

madmoiz'elle974 · 04-01-2015 14:15:46

j'ai réussi à calculer variation:

x 0,15 0,14 0,14 0,16 0,16 0,18 0,19 0,18 0,15 0,15 0,14 0,15

La moyenne: 0,1575 qu'on arrondi à 0,16

Et pour le reste j'ai tout essayer je n'y arrive pas je me rappel plus comment faire malgré les formule je n'arrive plus à les appliquer...

Merci Choukos pour ton aide :)

Choukos · 04-01-2015 15:08:03

Petit rappel pour finir cette question 1) b) :
Pour calculer la variance tu dois calculer la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne :
[tex]Var(X)=\text{moyenne}(X^2)- (\text{moyenne}(X))^2[/tex].
On veut l'écart-type, c'est la racine carrée de la variance :
[tex] \sigma = \sqrt{Var(X)} [/tex].

On a déjà calculé la moyenne de X, il faut qu'on calcule la moyenne des carrés, i.e. [tex]\text{moyenne}(X^2)[/tex]. Rajoute une ligne à ton tableau et calcule [tex]x^2[/tex] et calcule la moyenne de cette ligne. Il te restera ensuite à finir grâce aux formules rappelées ci-dessus :).

Pour la question 2)a) :
[tex]\frac{q_n - q_{n-1}}{q_{n-1}} = 0,16 \Leftrightarrow q_n - q_{n-1} = q_{n-1} \cdot 0,16 \Leftrightarrow q_n = q_{n-1} + q_{n-1} \cdot 0,16 \Leftrightarrow q_n = 1,16 \cdot q_{n-1} [/tex]. On reconnaît alors une suite géométrique, quelle est la raison ?

Est-ce que ça te débloques pour la suite ?

madmoiz'elle974 · 05-01-2015 12:21:54

Pour l'écart type j'ai trouver 0,16

d'où vient le 1,16? et moi je reconnais pas la suite géométrique moi ... pourquoi c'est une suite géométrique ?

Choukos · 05-01-2015 21:54:04

Bonsoir,
Je n'ai pas ça pour le calcul de l'écart type... et je vois mal comment tu aurais pu de nouveau obtenir 0,16. Il faut que tu écrives une nouvelle ligne où tu as calculé le carré de chaque terme de la ligne x, puis tu fais la moyenne sur cette nouvelle ligne puis tu fais la différence entre la moyenne de cette nouvelle ligne et de la moyenne de la ligne précédente. Enfin, tu dois prendre la racine carrée de ce résultat et tu as obtenu l'écart type.

Pour le 1,16, comment ça d'où il vient, il y a quelque chose qui te coinces/bizarre dans le calcul de mon post précédent ? Quelle est la définition d'une suite géométrique ?

Dernière modification par Choukos (06-01-2015 02:07:25)

madmoiz'elle974 · 06-01-2015 10:28:34

Excuser moi pour l'écart type j'ai trouve 0,016

pour une suite géométrique la formule est : U_n=U₀*qⁿ pour moi

dans ton post précédent je n'arrive pas à comprendre comment faire pour arriver à 1,16 ...

Choukos · 06-01-2015 12:57:35

Reprenons le calcul pas à pas :
Pour la première équivalence, j'ai multiplié des deux côtés par [tex]q_{n-1}[/tex].
Pour la deuxième équivalence, j'ai ajouté des deux côtés [tex]q_{n-1}[/tex].
Pour la troisième et dernière équivalence, j'ai factorisé par [tex]q_{n-1}[/tex] et (1 + 0,16) ça fait 1,16...

Sinon non, une suite [tex](u_n)[/tex] est géométrique si [tex]u_{n}= \ \text{(raison)} \ \cdot u_{n-1}[/tex] (et [tex]u_0= \ \text{constante}[/tex]). Du coup ici la raison c'est 1,16.

Le but de la question suivante c'est de passer de cette forme à la forme que tu m'indiques et pour ça tu peux faire une rapide récurrence. Normalement c'est dans ton cours.

Dernière modification par Choukos (06-01-2015 13:05:56)

madmoiz'elle974 · 07-01-2015 08:48:15

aaaaaaaaaaahh! j'ai compris alors c'est: q_n-q_n-1=q_n-1*0,16
<=> q_n=q_n-1+q_n-1*0,16
<=>q_n=q_n-1*1,16

q_n est une suite géométrique: q_n=q_n-1*1,16, de raison 1,16

mais pour passer à la question suivante je sais pas comment faire il faut remplacer q_n-1 par q₀???

merci beaucoup de m'aider :)

Dernière modification par madmoiz'elle974 (07-01-2015 08:52:32)

Choukos · 07-01-2015 20:47:25

Salut,
Pour cette question tu pars de [tex]q_n=1,16q_{n-1}[/tex] pour tout [tex]n \geq 1[/tex]. En outre tu as [tex]q_{n-1}=1,16q_{n-2}[/tex].
En combinant les deux tu as [tex]q_n = (1,16)^2 q_{n-2}[/tex].
Et ainsi de suite on descend progressivement jusqu'à atteindre [tex]q_0[/tex]. On obtient :
[tex]q_n=(1,16)^n q_0[/tex]

madmoiz'elle974 · 08-01-2015 10:15:43

j'ai pas trop bien capter on combine les deux mais comment?

comment on fais pour arriver à q_n=(1,16)²*q₀?

Choukos · 08-01-2015 23:46:37

Je voulais dire "par substitution" (comme lorsque tu résous un système d'équations).

La formule que tu indiques est fausse.

madmoiz'elle974 · 09-01-2015 11:34:22

quelle formule? si on utilise la formule de récurrence j'arrive à q_n+1=1,16*q_n

yoshi · 09-01-2015 19:08:10

Re,

Quelle formule ???
Celle-là :
q_n=(1,16)²*q₀.
Cela dit, je suis persuadé qu'en te relisant (si, si, il faut le faire régulièrement, avant et après avoir posté), tu t'apercevras de ton étourderie...
Choukos t'avait d'ailleurs donné la bonne.

@+

madmoiz'elle974 · 10-01-2015 06:24:20

ah oui mince !! oui je suis de nature tête en l'aire mais comment on trouve q_n=1,16ⁿ*q₀ par substitution ? moi je n'y arrive pas :'(

Choukos · 10-01-2015 14:37:23

Bonjour,
je dois t'avouer être perplexe, j'ai l'impression que tu as toutes les cartes en main et que tu devrais réessayer cette question. Je te mets ici ce qu'on a dit précédemment pour cette question :
Il faut faire une récurrence pour prouver que [tex]q_n = (1,16)^n * q_o[/tex].
Il faut voir que [tex]q_n=(1,16)\cdot q_{n-1}[/tex] pour n supérieur à 1.

Dernière modification par Choukos (10-01-2015 15:41:10)

madmoiz'elle974 · 11-01-2015 10:04:22

je n'arrive pas as se resulat, comment as tu fais pour arriver à q_n=(1,16)ⁿ*q₀? en utilisant la formule de récurence ?

Dernière modification par madmoiz'elle974 (11-01-2015 10:04:55)

madmoiz'elle974 · 12-01-2015 14:31:28

alors j'ai tout essayer est j'arrive à cela : q_n-1=1,16*q_n-2 soit qn=(1,16)²*q_n-2
q_n+1=1,16*q_n soit qn=1,16ⁿ⁺¹*qn
donc Q₁=1,16*q₀ soit qn=1,16ⁿ*q₀

vlà peut tu me corriger stp merci :)

yoshi · 12-01-2015 15:10:49

Salut,

La récurrence, c'est
1. Vérifier que c'est vrai pour des valeurs simples
2. Supposer que c'est vrai pour n,
3. Monter l'héritage soit que c'est vrai pour n+1...
Donc, ce qui te manque c'est l'étape 3 :
tu pars de [tex]q_n =1,16^n q_0[/tex], et tu dois montrer que [tex]q_{n+1} =1,16^{n+1} q_0[/tex]

@+

Choukos · 13-01-2015 00:55:01

Bonsoir bonsoir,
Désolé de ne pas avoir avoir répondu plus vite.

J'ai l'impression que tu t'empêtres dans les manipulations d'indices, en tout cas ta rédaction n'est pas claire.

Je t'ai peut être embrouillé avec mon explication précédente en te suggérant de "descendre" de [tex]q_n[/tex] à [tex]q_0[/tex] mais je voulais juste te faire sentir la cohérence du résultat, ce n'était pas une preuve.

Pour prouver proprement par récurrence que [tex]q_n=(1,16)^n \cdot q_0[/tex], yoshi t'as rappelé comment faire, à toi !
Tu vérifies que la propriété est initialement vraie (c'est à dire ici pour n=0) puis tu suis les étapes que yoshi vient de rappeler. Essaye encore une fois, si ça ne marche toujours pas on te donnera la réponse :), (il ne reste plus grand chose à rajouter).

Dernière modification par Choukos (13-01-2015 01:31:17)

madmoiz'elle974 · 13-01-2015 09:55:28

lorsque j'essaye avec q₁ par exemple ça me donne ça : q₁= q₀*(1,16)¹=213,9 est c pas se qu'il y a dans le tableau ... c'est pas que j'ai de la mauvaise volonté mais je n'y arrive vraiment pas pour cette question à trouver la bonne formule , la réponse! je crois que c la seule question qui compte pour la suite est c la seule que je suis vraiment bloquer...

Choukos · 13-01-2015 19:09:33

Bonsoir,
Ah d'accord c'est ça qui t'embêtes !
Mais c'est normal de ne pas tomber exactement sur la valeur du tableau, mais c'est important d'obtenir une valeur proche. Je m'explique :
La ligne correspondant aux y c'est les valeurs que tu mesures. Elles sont justes aux erreurs de mesures près. Le but de l'exercice c'est de modéliser la quantité de CO2 émise.

Pour ça on observe que tous les 5 ans, on émet en moyenne 1,16 fois plus de CO2. Mais c'est pas exactement ce qu'on observe, mais c'est plutôt proche !
L'astuce c'est qu'on pense comme ça pouvoir deviner le futur, on ne peut évidemment pas observer le futur, mais on peut raisonnablement se dire qu'on va continuer à émettre 1,16 fois plus de CO2 dans 5 ans.
Pour résumé, c'est normal que [tex]q_n[/tex] ne soit pas égal à [tex]y_n[/tex], mais c'est important que les deux soient proches.

madmoiz'elle974 · 14-01-2015 16:51:55

mais comment fait on ? pour trouver le bon résultat ?

Choukos · 14-01-2015 19:53:55

Re,
une rédaction possible :
Montrons par récurrence sur [tex]n \geq 0[/tex] que pour tout [tex]n \geq 0[/tex],
[tex]q_n=(1,16)^n \cdot q_0[/tex].
Initialisation si [tex]n=0[/tex] on a bien [tex]q_0=(1,16)^0 \cdot q_0[/tex] car [tex](1,16)^0=1[/tex].

Supposons la propriété vraie au rang [tex]n-1[/tex].
On a vu que [tex]q_{n}=(1,16)\cdot q_{n-1}[/tex]. Or, par hypothèse de récurrence, [tex]q_{n-1}=(1,16)^{n-1} \cdot q_0[/tex].
Donc par substitution, [tex]q_n=(1,16)\cdot [(1,16)^{n-1}\cdot q_0]= (1,16)^n \cdot q_0[/tex].
Donc, la propriété au rang n-1 implique la propriété au rang n.

Donc par le principe de récurrence, la propriété est vrai pour tout [tex]n\geq 0[/tex].

madmoiz'elle974 · 15-01-2015 16:40:56

je n'est toujours pas compris :( au niveau de la substitution

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