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tvjsp08

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Expression analytique d'une fonction

Bonjour,
Je dois construire le graphique d'une fonction a partir d'une division euclidienne qui est   f(x)= 5-2x / x-1 , si je ne me suis pas trompée le résultat est -2 avec un reste de 3.
Malheureusement j'aurais besoin de le mettre sous forme d'expression analytique mais je ne me souviens plus comment faire, si vous sauriez m'aider.. Merci !

yoshi

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Re : Expression analytique d'une fonction

Bonjour,

Désolé, tu t'asseois royalement sur la priorité des opérations !
f(x)= 5-2x / x- 1  --->[tex] f(x)=5x - \frac{2x}{x} - 1[/tex] ? pas très logique...
ou
f(x)= (5-2x)/(x-1)  --->[tex] f(x)=\frac{5 - 2x}{x-1}[/tex] ?

D'autre part, niveau : 2nde ? 1ere ?  Term ?

Tu cherches quoi ?
Quelque chose comme ça : [tex] f(x)=\frac{5 - 2x}{x-1}\, =\, -2+\frac{3}{x-1}[/tex] ??
Dans ce cas, oui, je peux te donner deux méthodes (selon niveau) pour arriver à cette écriture...

@+

tvjsp08

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Re : Expression analytique d'une fonction

Alors c'est le 2eme calcul et oui je cherche quelque chose comme ca ! Mais j'aimerais donc comprendre comment on y arrive.. Merci beaucoup ! Et c'est niveau première.

yoshi

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Re : Expression analytique d'une fonction

Salut,

Il me semble que la division des polynômes c'est Term...
La méthode la plus adaptée est d'identifier des coefficients..
5-2x et x-1 sont du même degré, donc ton "quotient" sera un réel tout simple, notons-le a...
Il restera au numérateur de la fraction également un réel, notons le b...
Tu auras donc la forme :
[tex]f(x) = a + \frac{b}{x-1} =  \frac{a(x-1)}{x-1}+\frac{b}{x-1}= \frac{a(x-1)+b}{x-1}=\frac{ax+(b-a)}{x-1}[/tex]

Et tu dois avoir :
[tex]\frac{ax+(b-a)}{x-1}=\frac{-2x+5}{x-1}[/tex]
qui te donne le système de 2 équations à 2 inconnues suivant :
[tex]\begin{cases} a&=-2\\b-a&=5\end{cases}[/tex]
D'où tu tires a = - 2 et b = 3

Ca marche aussi avec un polynôme de degré 2 au numérateur
Sauf que ton quotient est du type ax+b (on peut trouver a facilement) et souvent le "reste" est aussi du type cx + d.
Le procédé est le même...

Mais dans les problèmes, en général, on te guide...
Sinon :
On pose la division comme en primaire en faisant les produits, puis en soustrayant :

  -2x + 5  |  x - 1        
-(-2x + 2) |--------
 --------  | -2
        3

@+

tvjsp08

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Re : Expression analytique d'une fonction

Merci beaucoup, eh bien je vois pourtant ca en première..
Alors les résultats -2 et 3 sont mes deux asymptotes ?
Laquelle est l'horizontale et laquelle est la verticale ? Comment le savoir ? Car je dois dessiner les asymptotes de cette fonction, ainsi que trouver le domaine de définition, et l'éventuelle racine.. Alors d'ou dois je partir pour arriver a trouver ces données ?

Merci d'avance, vos réponses sont très claires et m'aident beaucoup, je commence a comprendre !

yoshi

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Re : Expression analytique d'une fonction

Re,

Non 3 n'est pas asymptote...
-2 est asymptote horizontale et la valeur "interdite (celle qui annule le dénominateur), ici x = 1 est asymptote verticale...
Si tu remplaces f(x) par y  et que x tend vers +oo (devient immensément grand) alors la fraction tend vers 0 (sa valeur se rapproche de 0) et y (l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x) tend vers -2... se rapproche de la droite y = -2 qui elle est horizontale.

Pourquoi n'utilises-tu pas ta calculatrice (ou un logiciel "grapheur") pour tracer la courbe? Tu verrais ainsi la tête qu'elle a...

@+

Je suis obligé de partir : je serai de retour vers 19 h

tvjsp08

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Re : Expression analytique d'une fonction

" Si tu remplaces f(x) par y  et que x tend vers +oo (devient immensément grand) alors la fraction tend vers 0 (sa valeur se rapproche de 0) et y (l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x) tend vers 2... se rapproche de la droite y = 2 qui elle est horizeontale ? "

Je ne comprends pas votre question..

Ma calculatrice me donnera sans doute la racine s'il y en a une, mais pas le domaine de définition.. Ma question est de quelle donnée dois je partir pour trouver le domaine de définition ?

Merci !

yoshi

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Re : Expression analytique d'une fonction

Bonsoir,

Ce n'était pas une question : il y avait un point d'interrogation intempestif qui s'était glissé là. J'avais corrigé presque tout de suite (pas assez vite apparemment...).

Je t'ai expliqué que les 2 asymptotes avaient pour équation y = -2 et x = 1.
Nantie de ces équations, tu vois facilement laquelle est verticale, laquelle est horizontale...

Ma calculatrice me donnera sans doute la racine s'il y en a une, mais pas le domaine de définition.

Ça, tu me le demandes maintenant et ça ne figurait pas dans ton énoncé initial : mon allusion à la calculatrice érait fondée sur ta demande qui était :
Je dois construire le graphique d'une fonction...
Maintenant parlons alors de domaine de définition.
C'est quoi un domaine de définition ?
C'est l'ensemble des valeurs de x qui ont une image par f, donc pour lesquelles f(x) existe...
Donc, il te faut chercher les valeurs interdites... et les supprimer de l'ensemble  de départ.

Il n'y a pas [tex]une[/tex] règle, mais plusieurs, à savoir par cœur :
- Au dénominateur, les valeurs interdites sont celles qui le rendraient nul
- Sous une racine carrée, les valeurs interdites sont celles qui rendraient la quantité sous le radical, négative...
Et il y a cumul !
Tu as vu ça en 2nde : rien de nouveau sous le soleil donc...

Exemple
[tex]g(x) = \frac{5}{\sqrt{x^2-4}}[/tex]
1. Le dénominateur (x+2)(x-2) est nul pour x= -2 et x = 2. Ces deux valeurs sont interdites. Tu as donc deux asymptotes verticales.
2. En outre (x+2)(x-2) < 0 si  -2 < x < 2

Le domaine de définition est donc [tex]x \in ]-\infty\;;\;-2[\,\cup\, ]2\;;\;+\infty[[/tex] qui peut aussi s'écrire : [tex]\mathbb{R}-[-2\;;\;2][/tex]

Avec un peu d'habitude, on repère les asymptotes verticales sur le graphique et le domaine :
Le vois-tu et vois-tu pourquoi ?

@+

tvjsp08

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Re : Expression analytique d'une fonction

Merci beaucoup, j'ai compris !

tvjsp08

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Re : Expression analytique d'une fonction

Oui je vois pourquoi, merci !