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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 08-06-2011 10:16:32
- Picatshou
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- Messages : 272
série de fonctions et équivalent et classe
bonjour tout le monde ,
on a / [tex]D=\mathbb{R}[/tex] \ [tex](-\mathbb{N}^*)[/tex]
on considère la série de fonctions d'une variable réelle de terme général Un défini par : [tex]\forall n \in (-\mathbb{N}^*)[/tex]
,[tex]\forall x \in \mathbb{R}[/tex] tq x est différent de -n
Un(x)= [tex]\frac{1}{(n+x)²}[/tex] Rn = U-Unt
avec Unt= [tex]\sum^{k=n}_{k=1}Uk[/tex] et U=[tex]\sum^{n=\infty}_{n=1}Un[/tex]
bon j'ai pu montrer que U est de classe infini sur ]-1,[tex]+\infty[/tex] [
et il est demandé de montrer que U est de classe infini sur ]-1-N,-N[ ,puis sur D et de donner un équivalent de U(x) lorsque x tend vers -N ??
je n'ai pas pu les montrer !
merci d'avance pour ce qui puisse m'aider :)
je suis désolé je n'ai pas fait attention je l'ai corrigé maintenant et N désigne un entier
Dernière modification par Picatshou (08-06-2011 11:54:58)
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#2 08-06-2011 11:30:44
Re : série de fonctions et équivalent et classe
Salut,
N désigne quoi dans ton problème ? Un ensemble ? Un entier ? Une paire de chaussettes ? Un ************ ?
De plus, peux-tu taper TOUT en LaTeX ? Car on ne distingue pas très bien ce qui est en minuscules, en majuscules et en indices ?
J'ai un peu de mal à comprendre ton problème. C'est dommage car si il y a un sujet des mathématiques sur lequel je peux t'aider très efficacement, c'est bien les séries de fonctions.
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#3 08-06-2011 11:47:00
- yoshi
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Re : série de fonctions et équivalent et classe
Hey Picatshou,
Si N est l'ensemble des entiers naturels, alors c'est \mathbb{N} --> [tex]\mathbb{N}[/tex]...
Et D=R\(-N*) serait alors [tex]D=\mathbb{R}[/tex] \ [tex](-\mathbb{N}^*)[/tex]
C'est ça ?
@+
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#5 08-06-2011 16:42:33
- Groupoid Kid
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Re : série de fonctions et équivalent et classe
Salut Picatshou,
Il reste une petite coquille : si tu prends n dans [tex]-\mathbb{N}[/tex], ton ensemble de définition sera [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}[/tex], puisque comme tu le dis x doit éviter toutes les valeurs -n.
As-tu déjà entendu parler de la convergence normale des séries de fonctions ? Si oui, alors tu pourras facilement conclure en travaillant sur des sous-ensembles compacts de ton ensemble de définition.
Pour l'équivalent, c'est en fait très simple, puisqu'en chaque -N, une seule des fonctions de ta somme "explose", la somme des autres étant finie. Il suffit donc de "sortir" celle-ci de la somme, l'équivalent tombera tout seul.
Dernière modification par Groupoid Kid (08-06-2011 16:43:16)
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#6 08-06-2011 18:39:35
- Picatshou
- Membre
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- Messages : 272
Re : série de fonctions et équivalent et classe
Salut Picatshou,
Il reste une petite coquille : si tu prends n dans [tex]-\mathbb{N}[/tex], ton ensemble de définition sera [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}[/tex], puisque comme tu le dis x doit éviter toutes les valeurs -n.
As-tu déjà entendu parler de la convergence normale des séries de fonctions ? Si oui, alors tu pourras facilement conclure en travaillant sur des sous-ensembles compacts de ton ensemble de définition.
Pour l'équivalent, c'est en fait très simple, puisqu'en chaque -N, une seule des fonctions de ta somme "explose", la somme des autres étant finie. Il suffit donc de "sortir" celle-ci de la somme, l'équivalent tombera tout seul.
salut , merci pour votre intervention est ce que vous pouvez encore m'aider en effet j'ai montrer la convergence normale de la série sur tout compact [a,b] tq :-1<a<b (rq : de R on ne retranche que les entiers négatifs )!
et merci d'avance pour tout le monde :)
Dernière modification par Picatshou (08-06-2011 18:42:18)
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#7 10-06-2011 11:27:14
- Groupoid Kid
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- Messages : 155
Re : série de fonctions et équivalent et classe
Re,
Qu'est-ce qui pose problème dans une somme infinie de fonctions ? Bin elle est infinie ! Oui mais l'avantage, c'est qu'elle n'est infinie que vers la fin :-)
Tu t'es limité à -1<a<b parce que ta somme avait une singularité en -1. Mais en fait, seul le premier terme de la somme présente cette singularité. Si tu commences ta somme à partir de k=2, tu pourras montrer comme précédemment la convergence normale sur tout compact [a,b] avec -2<a<b. Et ainsi de suite en retirant les N premiers termes de la suite.
Il ne reste plus ensuite qu'à rajouter les termes retirés, mais il s'agit alors d'une somme finie, qui préserve la continuité, la dérivabilité, etc.
En utilisant le même principe, tu pourrais démontrer que la convergence uniforme sur tout compact de D, mais comme tu n'as besoin que du caractère lisse c'est un luxe inutile ;-)
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