Logarithme

legend · 26-01-2011 18:33:24

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour quelques exercices.

Ex 1:
On considère la fonction f définie sur ]0; +oo[ par:

[tex]f\left(x\right)=5\,\ln x\,-{\left(\ln \,x\right)}^{2}[/tex]

On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1)
a)Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à C.

[tex]{\lim }_{x\Rightarrow {0}^{+}}f\left(x\right)[/tex]

je suis bloqué car je tombe sur une forme indéterminée du type "+00 -00" et je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

legend · 26-01-2011 18:39:38

A c'est bon j'ai réussi, j'ai trouvé - 00. Est ce correct?

yoshi · 26-01-2011 18:51:00

Bonsoir,

On met (ln(x))² en facteur :
[tex]f(x)=(\ln x)^2\left(\frac{5}{\ln x} -1\right)[/tex].

@+

[EDIT]oui

Dernière modification par yoshi (26-01-2011 18:51:26)

legend · 26-01-2011 18:54:44

ok merci yoshi en +00 je trouve -00.C'est bon?

yoshi · 26-01-2011 19:03:55

Re,

Oui aussi...
Tu peux le faire aussi : allumer ta calculette et tracer la courbe !
Quand j'ai eu trouvé -oo, que crois-tu que j'ai fait ? J'ai lancé mon logiciel grapheur, tapé la formule et vu que je ne m'étais pas trompé ;-)

@+

legend · 26-01-2011 19:09:06

ok merci pour l'astuce.

2)Calculer f'(x).

Je rencontre un soucis car je n'arrive pas à dérivé [tex]{\left(\ln \,x\right)}^{2}[/tex]. Sinon pour 5 ln x, pas de soucis, je trouve [tex]\frac{5}{x}[/tex]

Dernière modification par legend (26-01-2011 19:14:45)

thadrien · 26-01-2011 19:53:33

Salut,

Pour calculer cette dérivée, tu dois utiliser la dérivation d'une fonction puissance :

[tex][f(x)^n]' = n f'(x) f(x)^{n-1}[/tex] avec [tex]f(x) = ln(x)[/tex] et n un entier non nul.

Dernière modification par thadrien (26-01-2011 19:55:00)

legend · 26-01-2011 20:12:43

Merci donc si j'ai bien compris, ça donne:

[tex]f\left(x\right)=5\,\ln x\,-\,{\left(\ln \,x\right)}^{2}[/tex]
[tex]f'\left(x\right)=\frac{5}{x}-\,2\,\frac{1}{x}\,\ln \,x[/tex]
[tex]f'\left(x\right)=\frac{5}{x}-\,\frac{2\,\ln \,x}{x}[/tex]
[tex]f'\left(x\right)=\frac{5-2\,\ln \,x}{x}[/tex]

Merci d'avance.

legend · 26-01-2011 21:37:17

Ensuite,

b)Résoudre 5- 2 lnx =0 et 5-2 lnx>0
En déduire le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.

5-2 lnx =0
-2 lnx =-5
lnx= [tex]\frac{5}{2}[/tex]
x= [tex]{e}^{\frac{5}{2}}[/tex]

5-2 lnx>0
-2 lnx>-5
lnx< [tex]\frac{5}{2}[/tex]
x< [tex]{e}^{\frac{5}{2}}[/tex]

f'(x)>0 sur ]0;5/2[
f'(x)<0 sur ]5/2;+00[
f'(x)=0 lorsque x=5/2

Est ce correcte?

Dernière modification par legend (26-01-2011 22:07:35)

yoshi · 26-01-2011 22:20:06

Re,

C'est cela à un gros détail près : ce n'est pas 5/2 dans tes intervalles mais [tex]e^{\frac 5 2}[/tex]

Ta calculette te l'aurait dit...

@+

legend · 26-01-2011 22:23:45

ok merci.

legend · 26-01-2011 22:28:11

4)

a)Résoudre, dans R, l'équation [tex]5\,\ln x\,-\,{\left(\ln x\right)}^{2}=0[/tex]
b)Interpréter graphiquement les solutions obtenues.

Pour la a) je trouve X1=5 et x2=0, par contre pour la b) je ne comprend pas la question.

Merci d'avance pour votre aide.

thadrien · 26-01-2011 22:34:42

Salut,

Indication : [tex]f(x) = 5 ln(x) - (ln x)^2[/tex]. L'équation est équivalente à [tex]f(x) = 0[/tex].

Le reste découle de source.

legend · 26-01-2011 22:38:40

Je ne comprend trop ce que tu veux dire thadrien.

yoshi · 26-01-2011 22:51:06

Re,

Moi non plus...

Mais ce que je peux te dire c'est que tes solutions sont fausses...
[tex]5\ln x-(\ln x)^2=0\; \Leftrightarrow\; \ln x(5-\ln x)=0[/tex]
Soit deux solutions ln(x)=0 et ln(x)=5
Soit encore pour x (!!!) : [tex]x=1\;et\;x=e^5[/tex]
Si tu avais vérifié avec ta calculette (3e édition !) tu l'aurais vu...
Graphiquement, il a une courbe et deux axes, dont l'axe des abscisses...
Alors regarde bien ta courbe et tu verras ce que, graphiquement, représentent les points d'abscisses x=1 et x = e^5...

Ce doit être cela que thadrien a voulu dire...

@+

thadrien · 27-01-2011 18:06:37

Salut,

Ce que je veux dire, c'est qu'on a déjà tracé la courbe représentative de f, C. Donc, une fois que l'on a reconnu f dans l'équation, on peut dire que les solutions de cette équations sont les ordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des ordonnées.

yoshi · 27-01-2011 18:37:09

Re,

C'est bien ce que je disais donc.
Mais c'est de l'axe des abscisses dont il s'agit, s'pas...

@+

legend · 27-01-2011 20:49:29

Bonsoir,

[tex]{\lim }_{x\Rightarrow +oo}\frac{1.5\,\ln \,\left(x+1\right)}{x}[/tex]

sur ma copie j'ai écris +00 mais ça me parait bizarre, j'ai l'impression que sa donne une forme indéterminée.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par legend (27-01-2011 21:30:45)

yoshi · 27-01-2011 22:02:08

Bosoir,

La limite est 0 (regarde avec ta calculette) !
Dans le cours, il est dit que la limite de ln(x)/x quand x --> +oo est 0.
Quand x tend vers +oo, ln(x+1) est assimilable (c'est mal dit) à ln(x)...

@+

legend · 27-01-2011 22:10:41

ok merci

Une autre question:

[tex]f\left(x\right)=0.5\,x+2-1.5\,\ln \,\left(x+1\right)[/tex]
[tex]f'\left(x\right)=\frac{0.5x-1}{x+1}[/tex]

Est ce correct?

Merci d'avance.

Dernière modification par legend (27-01-2011 22:33:36)

yoshi · 27-01-2011 22:46:42

Re,

Oui, c'est bon...

@+

thadrien · 27-01-2011 23:59:32

yoshi a écrit :

C'est bien ce que je disais donc.
Mais c'est de l'axe des abscisses dont il s'agit, s'pas...

Tu dois avoir raison. Axe des abscisses et des ordonnées est du vocabulaire "scolaire" que j'ai oublié depuis longtemps. Je préfère parler "d'axe des x" et "d'axe des y". C'est plus clair, surtout quand on doit traduire les documents d'une langue à une autre.

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