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#1 26-04-2010 09:03:31
- MIAS2
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Convergence
Bonjour , j'ai encore un problème avec les séries de fonctions .
On me donne comme série [tex]\U_n(x)[/tex]= [tex]\sum_{n\ge 1}^\infty \frac{\((-1)^n}{x^2 + n^2}[/tex].
On me demande de montrer que cette série alternée converge simplement sur l'ensemble [tex]\R^+[/tex] , déja j'ai vu que [tex]\left|\U_n(x)\right|[/tex] est croissante sur un certain intervalle [tex][0,n][/tex] et décroissante et tend vers 0 sur le reste de l'ensemble. Donc ici je me dis que je ne peux pas utiliser le théorème des séries alternées , ensuite j'ai utilisé la convergence absolue et je trouve que série converge , la question est : est ce que je peux utiliser la convergence absolue pour montrer la convergence simple d'une série alterné ?
Puis viens la 2ème question où on me demande d'étudier la convergence uniforme de la série [tex]\U_n(x)[/tex] sur [tex]\R^+[/tex] , j'ai vérifié avec la convergence normale , la série n''est pas normalement convergente. Après qu'est ce que je dois utiliser pour vérifier la convergence uniforme ?
J'ai éssayé de voir si la série est uniformément de Cauchy mais rien à faire je vois des choses monstrueuses , l'utilisation de la négation du critère de Cauchy ne donne rien non plus , d'ailleurs je ne sais pas quoi prendre pour la négation . Merci.
Dernière modification par MIAS2 (26-04-2010 09:05:54)
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#2 26-04-2010 09:49:21
- Fred
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Re : Convergence
Bonjour,
1. Convergence simple.
Tu raisonnes à x fixé. Tu peux donc appliquer le critère des séries alternées à [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex] puisqu'elle vérifie ce critère dès que [tex]n\geq x[/tex].
Tu peux aussi prouver la convergence absolue de [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex] qui entraîne la convergence de [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex].
Lorsqu'on étudie la convergence simple, il ne faut pas se laisser embêter par le "x". C'est simplement un paramètre, mais tout se passe, à x fixé, comme si on étudiait une série numérique.
2. Convergence uniforme
La convergence est normale, non? Pour tout x de [tex]\mathbb R_+[/tex], on a :
[tex]|u_n(x)|\leq \frac{1}{x^2+n^2}\leq \frac{1}{n^2}[/tex]
et le membre de droite est le terme général d'une série convergente.
Mais je suppose que tu as fait une erreur d'énoncé car [tex]x \mapsto |u_n(x)|[/tex] semble décroissante sur [tex]\mathbb R_+[/tex] tout entier.
Fred.
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#3 26-04-2010 10:20:04
- MIAS2
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Re : Convergence
Il y a une erreur d'énoncé sur la série voilà comment elle s'écrit : [tex]\U_n(x)=[/tex][tex]\sum_{n\ge 1}^\infty\frac{(-1)^n x}{x^2 + n^2}[/tex]. Le problème est toujours là .
Dernière modification par MIAS2 (26-04-2010 11:14:19)
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#4 26-04-2010 12:31:05
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 349
Re : Convergence
Re-
Pour la première question, cela ne change rien. Pour la deuxième, on étudie le reste que l'on écrit sous la forme suivante :
[tex]R_n(x)=x\sum_{k\geq n}\frac{(-1)^k}{k^2+x^2}[/tex]
L'intérêt de sortir de le x de la somme, c'est que la série à l'intérieur vérifie le critère des séries alternées.
Ainsi, on a, pour tout x de [tex]\mathbb R_+[/tex],
[tex]|R_n(x)|\leq x\times \frac{1}{n^2+x^2}[/tex]
Tu étudies cette dernière fonction qui admet un maximum en n, et tu trouves :
[tex]|R_n(x)|\leq\frac{n}{n^2+n^2}\leq\frac{1}{2n}.[/tex]
La convergence est bien uniforme.
Je te rappelle que si [tex](a_n)[/tex] est une suite positive décroissant vers 0, alors dans le critère des séries alternées, on dit non seulement que [tex]S=\sum_{n\geq 1}(-1)^n a_n[/tex] est convergente, mais de plus,
[tex]|S|\leq a_1[/tex]
Fred.
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#5 26-04-2010 14:01:39
- MIAS2
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- Messages : 56
Re : Convergence
Re-
Je te rappelle que si [tex](a_n)[/tex] est une suite positive décroissant vers 0, alors dans le critère des séries alternées, on dit non seulement que [tex]S=\sum_{n\geq 1}(-1)^n a_n[/tex] est convergente, mais de plus,
[tex]|S|\leq a_1[/tex]Fred.
C'est [tex]|S|\le a_n[/tex] ou [tex]|S|\le a_1[/tex] ?
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