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Michsisi

Invité

(x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Bonjour,

je n'arrive pas à montrer que  [tex]\sqrt[n]{{x}_{1}...{x}_{n}}\leq \frac{{x}_{1}+...+{x}_{n}}{n}[/tex]

et

[tex]{x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right)[/tex]

Je ne sais pas comment je pourrais faire. Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.

freddy

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Re : (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Bonjour,

je n'arrive pas à montrer que [tex]\sqrt[n]{{x}_{1}...{x}_{n}}\leq \frac{{x}_{1}+...+{x}_{n}}{n}[/tex]

et

[tex]{x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right)[/tex]

Je ne sais pas comment je pourrais faire. Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.

Bonsoir,

pour la première expression, compare le ln de chacune des deux moyennes (l'une géométrique, l'autre arithmétique). C'est un résultat assez classique en statistique (propriété de la convexité qui énonce : [tex]\alpha\ln(x)+(1-\alpha)\ln(y) \leq \ln(\alpha x+(1-\alpha)y)\,\,  x, y > 0, \,\, 0 \leq \alpha \leq 1[/tex]).

Pour la seconde expression, x est défini dans quoi ?

(...)

Dernière modification par freddy (10-01-2010 17:58:47)

freddy

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Re : (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Re,

sous réserve que tu répondes à ma question, je vais faire une remarque utile :

[tex]S(n) = \sum_{p=0}^{n-1} x^p=\frac{x^n-1}{x-1}\,\, avec\,\,x > 0 \,\,et\,\, x\neq 1[/tex]

De fait, ta seconde inégalité revient à établir :

[tex]\frac{S(n)}{n} \geq x^{\frac{n-1}{2}[/tex]

Or on sait qu'il existe d > 0 tq

[tex]x^{d} = \frac{S(n)}{n}[/tex]

Il reste alors à montrer que  [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]

Dernière modification par freddy (10-01-2010 18:34:45)

Michsisi

Invité

Re : (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Re,

sous réserve que tu répondes à ma question, je vais faire une remarque utile :

[tex]S(n) = \sum_{p=0}^{n-1} x^p=\frac{x^n-1}{x-1}\,\, avec\,\,x > 0 \,\,et\,\, x\neq 1[/tex]

De fait, ta seconde inégalité revient à établir :

[tex]\frac{S(n)}{n} \geq x^{\frac{n-1}{2}[/tex]

Or on sait qu'il existe d > 0 tq

[tex]x^{d} = \frac{S(n)}{n}[/tex]

Il reste alors à montrer que  [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]

Désolé j'ai oubli de l'écrire, x est un réel strictement plus grand que 1

Michsisi

Invité

Re : (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Comment montrer que  [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]?

On n'a définit d que comme étant supérieur à 0. Je ne vois pas ce que je dois faire.

Fred

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Re : (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n

Salut,

  C'est sans doute aussi une question de convexité (mais ca aurait été plus simple si tu avais mentionné que tu étudies cela en ce moment).
Comme Freddy l'a remarqué, tu dois prouver que
[tex]1+x+\dots+x^{n-1}\geq nx^{(n-1)/2}[/tex]

On pose (x est fixé) [tex]f(y)=\exp(y\ln x)[/tex].
f est une fonction convexe.
En particulier, on a
[tex]\frac{1}{n}(f(0)+\dots+f(n-1)})\geq f\left(\frac 1n(0+1+\dots+(n-1))\right)[/tex]

Mais le membre de gauche est [tex]\frac1n (1+x+\dots+x^{n-1})[/tex]
tandis que celui de droite est
[tex]f\left(\frac1n\times\frac{n(n-1)}2\right)=f((n-1)/2)=x^{(n-1)/2}[/tex]

Ceci donne le résultat voulu.

Fred.