Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » (x1...xn)^(1/n)<(x1+...+xn)/n
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 10-01-2010 21:47:09
Salut,
C'est sans doute aussi une question de convexité (mais ca aurait été plus simple si tu avais mentionné que tu étudies cela en ce moment).
Comme Freddy l'a remarqué, tu dois prouver que
[tex]1+x+\dots+x^{n-1}\geq nx^{(n-1)/2}[/tex]
On pose (x est fixé) [tex]f(y)=\exp(y\ln x)[/tex].
f est une fonction convexe.
En particulier, on a
[tex]\frac{1}{n}(f(0)+\dots+f(n-1)})\geq f\left(\frac 1n(0+1+\dots+(n-1))\right)[/tex]
Mais le membre de gauche est [tex]\frac1n (1+x+\dots+x^{n-1})[/tex]
tandis que celui de droite est
[tex]f\left(\frac1n\times\frac{n(n-1)}2\right)=f((n-1)/2)=x^{(n-1)/2}[/tex]
Ceci donne le résultat voulu.
Fred.
- Michsisi
- 10-01-2010 20:59:32
Comment montrer que [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]?
On n'a définit d que comme étant supérieur à 0. Je ne vois pas ce que je dois faire.
- Michsisi
- 10-01-2010 20:42:40
Re,
sous réserve que tu répondes à ma question, je vais faire une remarque utile :
[tex]S(n) = \sum_{p=0}^{n-1} x^p=\frac{x^n-1}{x-1}\,\, avec\,\,x > 0 \,\,et\,\, x\neq 1[/tex]
De fait, ta seconde inégalité revient à établir :
[tex]\frac{S(n)}{n} \geq x^{\frac{n-1}{2}[/tex]
Or on sait qu'il existe d > 0 tq
[tex]x^{d} = \frac{S(n)}{n}[/tex]
Il reste alors à montrer que [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]
Désolé j'ai oubli de l'écrire, x est un réel strictement plus grand que 1
- freddy
- 10-01-2010 18:14:28
Re,
sous réserve que tu répondes à ma question, je vais faire une remarque utile :
[tex]S(n) = \sum_{p=0}^{n-1} x^p=\frac{x^n-1}{x-1}\,\, avec\,\,x > 0 \,\,et\,\, x\neq 1[/tex]
De fait, ta seconde inégalité revient à établir :
[tex]\frac{S(n)}{n} \geq x^{\frac{n-1}{2}[/tex]
Or on sait qu'il existe d > 0 tq
[tex]x^{d} = \frac{S(n)}{n}[/tex]
Il reste alors à montrer que [tex]d \geq \frac{n-1}{2}[/tex]
- freddy
- 09-01-2010 22:55:32
Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que [tex]\sqrt[n]{{x}_{1}...{x}_{n}}\leq \frac{{x}_{1}+...+{x}_{n}}{n}[/tex]
et
[tex]{x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right)[/tex]
Je ne sais pas comment je pourrais faire. Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.
Bonsoir,
pour la première expression, compare le ln de chacune des deux moyennes (l'une géométrique, l'autre arithmétique). C'est un résultat assez classique en statistique (propriété de la convexité qui énonce : [tex]\alpha\ln(x)+(1-\alpha)\ln(y) \leq \ln(\alpha x+(1-\alpha)y)\,\, x, y > 0, \,\, 0 \leq \alpha \leq 1[/tex]).
Pour la seconde expression, x est défini dans quoi ?
(...)
- Michsisi
- 09-01-2010 22:45:16
Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que [tex]\sqrt[n]{{x}_{1}...{x}_{n}}\leq \frac{{x}_{1}+...+{x}_{n}}{n}[/tex]
et
[tex]{x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right)[/tex]
Je ne sais pas comment je pourrais faire. Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.