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wireless

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Structures algébriques

Bonjour,

J'ai un problème sur les bras Ici, je pense avoir su répondre à une partie des questions mais je ne suis pas sur, pourriez vous me donnez des pistes pour les questions.

Merci, bon réveillon

Dernière modification par wireless (03-01-2010 18:06:24)

freddy

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Re : Structures algébriques

Salut,

commence par nous indiquer tes réponses, même partielles, si tu veux bien. C'est pour mieux te guider par la suite.

Bb

freddy

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Re : Structures algébriques

Re,

comme je suis sympa, voilà : http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphi … C3%A9rieur

Comme on dit en latin, Ite missa est.

Bb

wireless

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Re : Structures algébriques

Bonjour,

Merci pour les réponses, quand j'aurais 5 min je me repencherai dessus. Mais apparemment acta est fabula ;)

wireless

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Re : Structures algébriques

Bonsoir,

Voila ce que j'ai fait pour le moment:

1)a) -)[tex]\forall[/tex] x de G                x1=x=1x         Donc Z(G) non vide et 1 appartient a Z(G)

       -) Z(G) stable par x
   
       -) Z(G) contient les symétriques de ses éléments.

//J'ai essayé de démontrer ces deux derniers points mais j'ai échoué, il faudra que je revienne sur cette question//

b) [tex]\forall[/tex] x de Z(G), [tex]\forall[/tex] s de G, [tex]sxs^{-1}=ss^{-1}x=1x=x[/tex] appartient à Z(G)

2)a) Il faut démontrer que la relation est transitive, réflexive et symétrique. J'ai comme précédemment tenter les démonstrations mais je n'ai rien trouvé de probant.

b) Je ne vois pas trop

3) [tex]\forall[/tex](x,y) de G²,
           [tex]fs(xy)=sxys^{-1}=(sxs^{-1})(sys^{-1})=fs(x)fs(y)[/tex]

Donc il s'agit d'un morphisme bijectif

4)a)A faire

b)[tex]\forall[/tex] x de G,

             [tex]fs o fs'(x)=ss'xs'^{-1}s^{-1}=fss'(x)[/tex]

Donc [tex]\phi[/tex] est un morphisme surjectif

c) Ker[tex]\phi[/tex] est l'ensemble des éléments s de G tel que fs=IdG. Comme Z(G) est le centre de G on a Ker[tex]\phi[/tex]=Z(G).

Dernière modification par wireless (03-01-2010 18:23:07)

freddy

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Re : Structures algébriques

Bonsoir,

Voila ce que j'ai fait pour le moment:

1) - a) Par définition, Z(G) est formé de l'ensemble des éléments de G pour lesquels la loi de composition interne x est commutative. Donc Z(G) contient en particulier l'élément neutre 1.

De plus, considérons le couple (x,y) de Z(G)xZ(G). La question est de savoir si [tex] xy^{-1} \in Z(G)[/tex]. Supposons que non. Donc  [tex]\exists \,g\,\in \,G\,tel\,que\,x{y}^{-1}g\,\neq \,gx{y}^{-1}\Leftrightarrow \,x{y}^{-1}g\,\neq xg{y}^{-1}\Leftrightarrow {y}^{-1}g\neq g{y}^{-1}\Leftrightarrow g\neq g[/tex]

On aboutit à une contradiction. QED
   
b) [tex]\forall x \in Z(G)\,\forall (s,g) \in G^2\,\, sxs^{-1}g=xss^{-1}g=xgss^{-1}=gxss^{-1}=gsxs^{-1} \Rightarrow sxs^{-1} \in Z(G)[/tex]

Bien entendu, on a aussi remarqué que dans Z(G), [tex] sxs^{-1}=x[/tex].

2)a) Il faut démontrer que la relation est réflexive, symétrique et transitive. Soit montrer que xRx, que si xRy alors yRx et enfin, si xRy et yRz alors xRz. Il suffit de reprendre la définition de la relation pour le montrer.

Salut,

j'ai fait qques modifs dans ce que tu nous a soumis.

Est ce plus clair pour toi ?

Dernière modification par freddy (03-01-2010 11:40:14)

wireless

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Re : Structures algébriques

Bonjour,

Merici, Oui, pour les deux premières c'est ok.

Pour l'application de la définition de la relation: -) [tex]xRx   x=sxs^{-1}[/tex] , on prend s=1 ?

                                                           -) xRy et yRz, [tex]y=sxs^{-1}   Z=sys^{-1}     Z=ssxs^{-1}s^{-1}[/tex] => xRz ?

                                                           -)xRy et yRx, [tex]y=sxs^{-1}  x=sys^{-1}[/tex]

2)b)je ne sais pas comment l'attaquer, en revenant à la caractérisation d'un sous-groupe je n'arrive à rien de bien

3)Ce que j'ai fait est-il bon ? On obtient une autre démonstration pour la 2)b), en effet l'image d'un sous-groupe de G par l'automorphisme est un sous-groupe de G.

4)a) Comme la 2)b)....

Que pensez vous du reste ?

freddy

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Re : Structures algébriques

Bonjour,

Merci, Oui, pour les deux premières c'est ok.

2 - a )Pour l'application de la définition de la relation:

-) [tex]xRx   x=sxs^{-1}[/tex] , on prend s=1 ? OUI => R est réflexive.

-) si  xRy = > il existe s de G tq [tex] y=sxs^{-1}[/tex]. En composant à droite et à gauche, on a :
[tex] s^{-1}ys=s^{-1}sxs^{-1}s     s^{-1}ys=x [/tex] => yRx car il suffit de prendre le symétrique de s, élément de G (puisque G est un groupe). => R est symétrique.

-) si xRy et yRz, alors il existe s et t éléments de G tq [tex]y=sxs^{-1}  z=tyt^{-1}[/tex] soit

[tex]z=t(sxs^{-1})t^{-1}  z=(ts)x(s^{-1}t^{-1})  z=(ts)x(ts)^{-1}[/tex] donc xRz. Il suffit en effet de prendre  g = ts élément de G => R est transitive.

Donc R est une relation d'équivalence sur G.

Re,

voir ci dessus.

wireless

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Re : Structures algébriques

Merci, c'est clair pour moi maintenant.

Pour la 2)b)

On suppose A sous-groupe de G, donc :-) [tex]1\in A[/tex]
                                                         -) A est stable par x et contient les symétriques de ses éléments

-) [tex]sA{s}^{-1}[/tex] est il un sous-groupe de G ?

              -) [tex]1\in sA{s}^{-1}[/tex] (en prenant [tex]x=1\in A[/tex]  )
              -) stable par la loi de composition x et contient les symétriques de ses éléments (c'est ici que je bute, une démonstration est-elle nécessaire ?)

freddy

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Re : Structures algébriques

Re,

pour caractériser un sous-groupe (j'avais oublié), il faut que l'élément neutre soit dans le sous groupe et que si x et y appartiennent à ce sous groupe, alors xy' en fait aussi partie (y' désigne le symétrique de y, soit yy'=y'y=1).

wireless

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Re : Structures algébriques

Re,

cela donne quelque chose comme ca ?

Supprimé

(la reponse à la question 1 est elle tjr valable de ce fait ? les autres réponses sont elles bonnes ?)

Dernière modification par wireless (03-01-2010 13:55:00)

freddy

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Re : Structures algébriques

Re,

il faut revoir la caractérisation de tous les sous groupes comme indiqué dans mon post #10 (et #6 que j'ai modifié ce matin).

Idem pour la réponse à la question 2 b)

Dernière modification par freddy (03-01-2010 11:44:27)

wireless

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Re : Structures algébriques

2)b) [tex]Nous\,savons\,que\,1\in A,\,et\,A\,stable\,par\,x[/tex]

       -) [tex]\forall s\in G\,On\,choisit\,x=1\in A\,\,On\,a\,s1{s}^{-1}=s{s}^{-1}=1\in G\,\,\,Don\,1\,\in sA{s}^{-1}[/tex]

         [tex]Donc\,sA{s}^{-1}\,non\,vide[/tex]

      -) [tex]\forall \left(x,y\right)\in s{As}^{-1}\,\,On\,a\,sx{s}^{-1}sy{s}^{-1}=s\left(xy\right){s}^{-1}\in sA{s}^{-1}[/tex]
   
          [tex]Donc\,sA{s}^{-1}\,Stable\,par\,x[/tex]

      -) Comme A supposé sous-groupe de G, A contient les symétrique de ses éléments;

        [tex]On\,a\,{x}^{-1}\in A\,\,\,et\,s{x}^{-1}{s}^{-1}\in G\,\,\,Donc\,sA{s}^{-1}\,Contient\,les\,symétriques\,de\,ses\,éléments[/tex]

Pouvez vous me dire si mes réponses aux questions 3), 4)b), 4)c)  sont valides ?

Dernière modification par wireless (03-01-2010 17:17:40)

Thibault

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Re : Structures algébriques

3) [tex]\forall[/tex](x,y) de G²,
           [tex]fs(xy)=sxys^{-1}=(sxs^{-1})(sys^{-1})=fs(x)fs(y)[/tex]

Donc il s'agit d'un morphisme bijectif

4)a)A faire

b)[tex]\forall[/tex] x de G,

             [tex]fs o fs'(x)=ss'xs'^{-1}s^{-1}=fss'(x)[/tex]

Donc [tex]\phi[/tex] est un morphisme surjectif

c) Ker[tex]\phi[/tex] est l'ensemble des éléments s de G tel que fs=IdG. Comme Z(G) est le centre de G on a Ker[tex]\phi[/tex]=Z(G). Si Z(G)={1} alors [tex]\phi[/tex] est un ismorphismes.

3) Tu a bien montré que [tex]f_{s}[/tex] est un morphisme de groupe, par contre je ne vois pas la preuve qu'il est bijectif. Pour le montrer tu peux par exemple constater que [tex]f_{s}f_{s^{-1}}=Id[/tex]

4) b) Comment affirmes-tu que phi est surjectif? En fait la surjectivité vient simplement du fait que les automorphismes intérieurs sont précisément définis comme étant ceux de la forme [tex]f_{s}, s\in G[/tex]

4) c) Tu dis :"Comme Z(G) est le centre de G on a Ker(phi)=Z(G)". Ce n'est pas une preuve, c'est ce qu'on te demande de montrer! Tu dois montrer que tout élément du Ker est un élément du centre et réciproquement.

Salutations,

Thibault

Dernière modification par Thibault (03-01-2010 14:48:42)

wireless

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Re : Structures algébriques

Salut merci de m'avoir donner un coup de main

Dernière modification par wireless (03-01-2010 18:03:27)