Forum de mathématiques - Bibm@th.net

stormin

Membre

Inscription : 03-12-2009

Messages : 124

Famille Libre

bonsoir a tous
j'ai beoin d'aide:comment démontrer pour la premiere question que les reels par exemple a1,a1,an sont nuls;
et aussi comment faire pour le deuxieme

Soit E = F(IR;IR). Pour tout n appartient à N on pose fn : x ______ x^n.
1. Montrer que (f0; f1;    ; fn) est libre.
2. En d'eduire dim (E).

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Famille Libre

Bonjour,

  Si tu as une relation de liaison [tex]a_0 f_0+\dots+a_n f_n=0[/tex] avec [tex]a_p\neq 0[/tex] et p le plus grand possible ayant cette propriété, alors tu peux factoriser par [tex]x^p[/tex] et tu trouves
[tex]x^p(a_p+a_{p-1}/x+\dots+a_0/x^p)=0[/tex].
Si l'on fait tendre x vers +oo, le membre de gauche tend vers +oo ou -oo suivant le signe de [tex]a_p[/tex], alors que le membre de droite tend vers 0. On obtient une contradiction, et donc que la famille est libre.

E contient donc des familles libres ayant un nombre arbitrairement grand d'éléments. Ainsi, E ne peut pas être de dimension finie, sinon toute famille libre aurait au plus dim(E) éléments. On en déduit que E est de dimension infinie.

Fred.