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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#4 04-11-2025 23:56:15
- bridgslam
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- Messages : 1 863
Re : $56$ divise $n$
Bonjour ,
Modulo 8 les carrés sont assez limités.
Si n n'est pas 0, il est facile de montrer qu'on a toujours au moins une des deux expressions qui n'est pas compatible avec les carrés modulo 8.
Donc 8 est déjà un diviseur de n.
Pour 7 cela semble moins immédiat.
Je regarderai jeudi.
A.
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#5 05-11-2025 00:29:21
- syrac
- Membre
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Re : $56$ divise $n$
[Edit Fred] Message supprimé car sans rapport avec la question posée.[/edit]
Quelques principes de droit public :
Le droit à la défense : toute personne accusée publiquement a le droit fondamental à la défense, c’est-à-dire à demander que des preuves soient produites ou examinées pour réfuter des accusations, que ce soit lors d'une procédure judiciaire ou dans le cadre d'une accusation publique informelle.
Le droit de réponse (droit de réplique ou rectification publique) : dans certains contextes médiatiques ou publics (presse, médias), la personne mise en cause publiquement peut exiger qu’une réponse soit publiée dans le même espace pour apporter ses propres éléments ou version des faits. Ce droit vise à rétablir la vérité devant le même auditoire.
Dernière modification par syrac (05-11-2025 01:02:23)
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#6 05-11-2025 00:51:07
- Reouven
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Re : $56$ divise $n$
En fait, je me suis aidé de chat-gpt, mais c'est un peu long, on peut peut-être faire plus simple.
On cherche tous les $a_k$ et $b_k$ entiers, pouvant s'écrire
$a_k^2 = 3 n_k + 1$
$b_k^2 =4 n_k +1$
avec $n_k$ entier.
En combinant ces deux équations, on obtient :
\[4 a_n^2 - 3 b_n^2 =1\]
qui est une équation de Pell, avec la solution minimale $(a_1,\ b_1)=(1,\ 1)$, et dont les solutions (*) satisfont le système linéaire couplé :
\(a_{k+1}=2 a_k+3 b_k \\
b_{k+1}=a_k+2 b_k\)
avec \(a_1=1,\ a_2=13,\ b_1=1,\ b_2=15\) et
équivalent après manipulations arithmétiques, au système linéaire $S$ homogène d'ordre 2 :
\[a_{k+2}=14 a_{k+1}−a_k \\
b_{k+2}=14 b_{k+1}−b_k \]
En revenant à $n_k,$ on a :
\[n_k=\dfrac{a_k^2 - 1}{3}\]
or grâce à $S$, $a_{k+2}=14 a_{k+1}−a_k$ on montre la stabilité par récurrence de :
$a_{k+2} \equiv 1 \text{ ou } 13 \pmod{56}$ (avec $a_1=1,\ a_2=13$).
D'où
$a_k^2 \equiv 1 \text{ ou } 169 \pmod{56}$
et ($13^2-1=169-1=3*56$) :
$a_k^2 - 1 \equiv 0 \pmod{56}$
$a_k^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
C'est-à-dire $n_k$ est divisible par \(56\). CQFD.
--
(*) On trouve pour ensemble les solutions (entières) :
$a_k = \frac{(1+\sqrt{3})^{2k-1} + (1-\sqrt{3})^{2k-1}}{2}$
$b_k = \frac{(1+\sqrt{3})^{2k-1} - (1-\sqrt{3})^{2k-1}}{2\sqrt{3}}$
Dernière modification par Reouven (05-11-2025 04:12:20)
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#7 05-11-2025 08:03:39
- Roro
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Re : $56$ divise $n$
Bonjour,
En fait, je me suis aidé de chat-gpt,
Quel est l'intérêt de poster la réponse de chat-gpt à une énigme ??? Autant demander la réponse à gebrane !
A minima tu aurais pu cacher cette "solution" pour quelles autres puissent chercher sans être trop influencés.
Roro.
Dernière modification par Roro (05-11-2025 08:12:47)
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#8 05-11-2025 09:16:32
- Reouven
- Membre
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- Messages : 55
Re : $56$ divise $n$
Peut-être parceque je n'ai pas demandé la solution à chat-gpt et que je n'ai pas copier coller sa réponse ?
À votre examen, ma démarche exacte a été :
- (sans chat-gpt) j'ai essayé de trouver par récurrence, les $n$ qui satisfont ces deux conditions. J'ai essayé des choses comme poser $a_{n+1} = a_n + 1$, et $b_{n+1} = b_n +1$, mais ça ne marchait pas. Je n'ai pas réussi à trouver comment trouver $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, et $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.
- je me suis alors dit qu'il fallait regarder à quoi ressemblait plutôt entre eux les $a_n$ et $b_n$, j'ai donc demandé à chat-gpt de trouver en force brut les carrés pouvant s'écrire $3n+1$ et $4n+1$ pour un même $n$.
- il m'a proposé non la force brute, mais plutôt de trouver les solutions en résolvant une équation de Pell entre $a_n$ et $b_n$, ce que j'ai étudié et compris en lui demandant des détails et des questions suite à certaines incompréhensions, comme le passage d'un système couplé à un système homogène etc.
- ensuite à partir de là, finalement, j'ai démontré (sans chat-gpt) que 56 divisait bien les n trouvés.
Et finalement, voyant qu'il n'y avait pas de réponse plus simple ici, j'ai donc rédigé la réponse, en choisissant de synthétiser en passant sur certains développement comme la résolution de l'équation de Pell, qui est un peu technique et qui m'aurait pris trop de temps.
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#10 06-11-2025 11:46:30
- gebrane
- Membre
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- Messages : 10
Re : $56$ divise $n$
Je vous lis et je ne me précipite pas pour donner mon retour.
Bridgslam a vu qu’on pouvait prouver que 8 divise n assez facilement. En revanche, démontrer que 7 divise n demande davantage d’efforts. . Je reviendrai quand les recherches se seront calmées.
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#11 06-11-2025 11:57:49
- bridgslam
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- Lieu : Rospez
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Re : $56$ divise $n$
Bonjour Gebrane,
J'essaie de le montrer sans faire appel à Pell , mais cela ne me semble pas immédiat...
Bon a-m.
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#12 06-11-2025 19:02:12
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 863
Re : $56$ divise $n$
Bonsoir,
La pensée du soir:
Peut-être est-ce une erreur de faire appell à Pell à la pell ?
:-)
Bonne soirée
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#16 13-11-2025 17:35:51
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : $56$ divise $n$
Bonsoir ,
Bon rétablissement...
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