Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir ,

Bon rétablissement...

Oui il doit y avoir certainement une méthode plus simple pour démontrer la divisibilité par 7.

Bonsoir,

La pensée du soir:
Peut-être est-ce une erreur de faire appell à Pell à la pell ?

:-)

Bonne soirée

Je vous lis et je ne me précipite pas pour donner mon retour.
Bridgslam a  vu qu’on pouvait prouver que 8 divise n assez facilement. En revanche, démontrer que 7 divise n demande davantage d’efforts. .   Je reviendrai quand les recherches se seront calmées.

Peut-être parceque je n'ai pas demandé la solution à chat-gpt et que je n'ai pas copier coller sa réponse ?

À votre examen, ma démarche exacte a été :
- (sans chat-gpt) j'ai essayé de trouver par récurrence, les $n$ qui satisfont ces deux conditions. J'ai essayé des choses comme poser $a_{n+1} = a_n + 1$, et $b_{n+1} = b_n +1$, mais ça ne marchait pas. Je n'ai pas réussi à trouver comment trouver $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, et $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.
- je me suis alors dit qu'il fallait regarder à quoi ressemblait plutôt entre eux les $a_n$ et $b_n$, j'ai donc demandé à chat-gpt de trouver en force brut les carrés pouvant s'écrire $3n+1$ et $4n+1$ pour un même $n$.
- il m'a proposé non la force brute, mais plutôt de trouver les solutions en résolvant une équation de Pell entre $a_n$ et $b_n$, ce que j'ai étudié et compris en lui demandant des détails et des questions suite à certaines incompréhensions, comme le passage d'un système couplé à un système homogène etc.
- ensuite à partir de là, finalement, j'ai démontré (sans chat-gpt) que 56 divisait bien les n trouvés.

Et finalement, voyant qu'il n'y avait pas de réponse plus simple ici, j'ai donc rédigé la réponse, en choisissant de synthétiser en passant sur certains développement comme la résolution de l'équation de Pell, qui est un peu technique et qui m'aurait pris trop de temps.

En fait, je me suis aidé de chat-gpt, mais c'est un peu long, on peut peut-être faire plus simple.

On cherche tous les $a_k$ et $b_k$ entiers, pouvant s'écrire
$a_k^2 = 3 n_k + 1$
$b_k^2 =4 n_k +1$
avec $n_k$ entier.

En combinant ces deux équations, on obtient :
\[4 a_n^2 - 3 b_n^2 =1\]
qui est une équation de Pell, avec la solution minimale $(a_1,\ b_1)=(1,\ 1)$, et dont les solutions (*) satisfont le système linéaire couplé :
\(a_{k+1}=2 a_k+3 b_k \\
b_{k+1}=a_k+2 b_k\)
avec \(a_1=1,\ a_2=13,\ b_1=1,\ b_2=15\) et
équivalent après manipulations arithmétiques, au système linéaire $S$ homogène d'ordre 2 :
\[a_{k+2}=14 a_{k+1}−a_k \\
b_{k+2}=14 b_{k+1}−b_k \]

En revenant à $n_k,$ on a :
\[n_k=\dfrac{a_k^2 - 1}{3}\]

or grâce à $S$, $a_{k+2}=14 a_{k+1}−a_k$ on montre la stabilité par récurrence de :
$a_{k+2} \equiv 1 \text{ ou } 13 \pmod{56}$ (avec $a_1=1,\ a_2=13$).

D'où
$a_k^2 \equiv 1 \text{ ou } 169 \pmod{56}$
et ($13^2-1=169-1=3*56$) :
$a_k^2 - 1 \equiv 0 \pmod{56}$
$a_k^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
C'est-à-dire $n_k$ est divisible par \(56\). CQFD.

--
(*) On trouve pour ensemble les solutions (entières) :

$a_k = \frac{(1+\sqrt{3})^{2k-1} + (1-\sqrt{3})^{2k-1}}{2}$
$b_k = \frac{(1+\sqrt{3})^{2k-1} - (1-\sqrt{3})^{2k-1}}{2\sqrt{3}}$

Bonjour ,

Modulo 8 les carrés sont assez limités.
Si n n'est pas 0, il est facile de montrer qu'on a toujours au moins une des deux expressions qui n'est pas compatible avec les carrés modulo 8.
Donc 8 est déjà un diviseur de n.
Pour 7 cela semble moins immédiat.
Je regarderai jeudi.

A.

[Edit Fred] Message supprimé car sans rapport avec la question posée.[/edit]