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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 11-09-2025 14:47:32
- bridgslam
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Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonjour,
Un échange sur une autre rubrique du site m'a incité a poser le sujet suivant :
Un ensemble E de points de l'espace ordinaire est:
- convexe, lorsque pour tous points A, B de E le segment [A B] est inclus dans E
- étoilé par rapport à un point I lorsque pour tout point M de E, le segment [IM] est inclus dans E.
On dit que E est étoilé si au moins un tel point I existe.
Saurez-vous trouver dans l'espace à trois dimensions au moins une partie E telle que:
- E est étoilé
- E n'est pas convexe
- l'ensemble des points I par rapport auxquels E est étoilé est convexe
Bonne chance
Dernière modification par bridgslam (11-09-2025 14:53:11)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#2 11-09-2025 15:33:21
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonjour,
Des idées ?
Quels sont ses centres I ?
Amusant non?
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#4 11-09-2025 17:18:35
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
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- Messages : 1 748
Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonjour à tous !
Tiens tiens, ça me parle ...
Moi j'aime les polyèdres convexes, que l'on prolonge par étoilements.
B-m
Dernière modification par Bernard-maths (12-09-2025 10:31:11)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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#5 11-09-2025 21:04:35
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 864
Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonsoir ,
A vrai dire j'avais essayé de dégoter un objet pas trop "filaire", et dont l'ensemble des centres ne se résumasse pas à un simple croisement ( en évitant ,en ce qui concerne les cônes, juste un sommet commun).
Du coup l'idée du diabolo avec un disque central non réduit à un point m'a conduit à penser que la recherche des centres ferait l'objet d'une seconde question avec un peu de sel , supputant qu'un nombre non négligeable de lecteurs répondrait en désignant juste le disque central, au lieu du double cornet plein.
Enigme bonus: mon hypothèse était-elle si utopique?
Je pense que les énigmes valables sont parfois celles où l'"évidence même" qui saute aux yeux nous fourvoit complètement...
et celle-ci en était une "tentative" (pour la seconde question),
une petite intuition géométrique étant demandée pour bien cerner les centres d'"étoilage".
Au final qui est la "star" entre un champion de diabolo et le diabolo ? Les deux ! Ou plutôt l'un est la star et l'autre l'étoile !
Bonne fin de soirée.
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#6 13-09-2025 08:06:13
- Bernard-maths
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Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonjour à tous !
Inspiré d'une fleur à pétales ronds ...
Voici un triangle et les cercles passant par 2 sommets, et tangents entre eux aux sommets.
La figure pleine n'est pas convexe, mais est-ell étoilée ?
On peut faire la même chose en 3D avec un tétraèdre et les 4 boules passant par 3 sommets et tangentes en ces sommets ...
Bernard-maths
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#7 13-09-2025 08:52:34
- jelobreuil
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Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Bonjour à tous,
D'après la définition donnée par bridgslam dans le message #1, il me semble que cette figure est effectivement étoilée, puisqu'il existe un point, le point central I intersection des trois cercles, à partir duquel on peut tracer un segment de droite vers n'importe quel point de la figure, comme à partir d'un point d'un cercle on peut joindre n'importe quel point du disque intérieur à ce cercle.
Bien amicalement, JLB
Edit : Non, je n'avais pas bien regardé la figure de Bernard, ce n'est pas un point, mais un deltoïde, un triangle curviligne, qu'il y a au centre de cette figure. Et je pense qu'au moins le centre de ce deltoïde répond aux exigences de la définition.
Dernière modification par jelobreuil (13-09-2025 09:14:35)
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#8 13-09-2025 10:04:35
- Bernard-maths
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Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Essaye de faire le tracé !
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#9 13-09-2025 13:47:56
- Bernard-maths
- Membre Expert
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- Messages : 1 748
Re : Convexes, étoiles, on s'amuse un peu
Voilà 3 figures évolutives selon la tangence ou l'intersection des cercles :
Il en manque une 4ème avec intersection des 3 cercles donnant un triangle "curviligne" intérieur aux cercles ...
B-m
Dernière modification par Bernard-maths (13-09-2025 16:01:09)
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